📝 题目
5．求过点 $A(1,1,-1)$ 和原点且与平面 $4 x+3 y+z=1$ 垂直的平面方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求一个平面，它满足三个条件： 1. 过点 $A(1,1,-1)$； 2. 过原点 $O(0,0,0)$； 3. 与已知平面 $\Pi_0: 4x+3y+z=1$ 垂直。
**第一步：确定所求平面的法向量** 设所求平面为 $\Pi$，其法向量记为 $\mathbf{n}$。 由于 $\Pi$ 过原点 $O$ 和点 $A$，则向量 $$ \overrightarrow{OA} = (1-0,\;1-0,\;-1-0) = (1,1,-1) $$ 位于平面 $\Pi$ 内。
又因为 $\Pi$ 垂直于已知平面 $\Pi_0$，所以 $\Pi$ 的法向量 $\mathbf{n}$ 垂直于 $\Pi_0$ 的法向量 $\mathbf{n}_0 = (4,3,1)$。 同时，$\mathbf{n}$ 垂直于平面内的向量 $\overrightarrow{OA}$。因此，$\mathbf{n}$ 平行于这两个向量的叉积：
$$ \mathbf{n} = \overrightarrow{OA} \times \mathbf{n}_0 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} $$
计算行列式： $$ \mathbf{i} \cdot (1 \cdot 1 - (-1)\cdot 3) \;-\; \mathbf{j} \cdot (1\cdot 1 - (-1)\cdot 4) \;+\; \mathbf{k} \cdot (1\cdot 3 - 1\cdot 4) $$ $$ = \mathbf{i} (1 + 3) - \mathbf{j} (1 + 4) + \mathbf{k} (3 - 4) $$ $$ = (4,\,-5,\,-1) $$
所以可取法向量 $\mathbf{n} = (4,-5,-1)$。
**第二步：写出平面方程** 平面过原点，因此方程形式为 $$ 4x - 5y - z = 0 $$ 检验是否过点 $A(1,1,-1)$： $$ 4(1) - 5(1) - (-1) = 4 - 5 + 1 = 0 $$ 满足条件。
因此所求平面方程为 $$ \boxed{4x - 5y - z = 0} $$
难度：★☆☆☆☆