📝 题目
6．求过 $z$ 轴和点 $M(-3,1,2)$ 的平面方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知所求平面过 $z$ 轴，则其方程可设为一般形式 $$ Ax + By + Cz + D = 0 $$ 但平面过 $z$ 轴，意味着 $z$ 轴上的所有点都满足该方程。$z$ 轴上的点坐标为 $(0,0,z)$，代入得 $$ A\cdot 0 + B\cdot 0 + C z + D = 0 \quad \Rightarrow \quad C z + D = 0 $$ 由于这对任意 $z$ 成立，必须 $C = 0$ 且 $D = 0$。 因此平面方程简化为 $$ Ax + By = 0 $$ 又因为平面过点 $M(-3,1,2)$，代入得 $$ A(-3) + B(1) = 0 \quad \Rightarrow \quad -3A + B = 0 \quad \Rightarrow \quad B = 3A $$ 取 $A = 1$，则 $B = 3$，于是所求平面方程为 $$ x + 3y = 0 $$ （也可写为 $x + 3y = 0$，与 $z$ 无关。）
难度：★☆☆☆☆