📝 题目
1．填空题。 （1）过原点且与向量 $\boldsymbol{a}=(3,1,-1)$ 垂直的平面方程为 $\_\_\_\_$ ． （2）平面 $x+2 y+k z+1=0$ 与向量 $\boldsymbol{a}=(1,2,1)$ 垂直，则 $k=$ $\_\_\_\_$。 （3）过点 $M(2,0,-1)$ ，且与向量 $\boldsymbol{a}=(2,1,-1) 、 \boldsymbol{b}=(3,0,4)$ 平行的平面方程
为 $\_\_\_\_$。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
（1）过原点且与向量 $\boldsymbol{a}=(3,1,-1)$ 垂直的平面方程为 平面过原点，法向量为 $\boldsymbol{a}$，故方程为 $$ 3x + 1\cdot y + (-1)\cdot z = 0 $$ 即 $$ 3x + y - z = 0 $$ 答案为 $3x + y - z = 0$。
（2）平面 $x+2y+kz+1=0$ 与向量 $\boldsymbol{a}=(1,2,1)$ 垂直，则 $k=$ 平面的法向量为 $(1,2,k)$，与 $\boldsymbol{a}$ 平行时垂直条件成立，即对应分量成比例： $$ \frac{1}{1} = \frac{2}{2} = \frac{k}{1} $$ 解得 $k=1$。 答案为 $k=1$。
（3）过点 $M(2,0,-1)$，且与向量 $\boldsymbol{a}=(2,1,-1)$、$\boldsymbol{b}=(3,0,4)$ 平行的平面方程为 平面的法向量为 $$ \boldsymbol{n} = \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot4 - (-1)\cdot0) - \mathbf{j}(2\cdot4 - (-1)\cdot3) + \mathbf{k}(2\cdot0 - 1\cdot3) $$ 计算得： $$ \boldsymbol{n} = (4,\; - (8+3),\; -3) = (4,\; -11,\; -3) $$ 平面过点 $M(2,0,-1)$，方程为 $$ 4(x-2) -11(y-0) -3(z+1)=0 $$ 化简： $$ 4x - 8 - 11y - 3z - 3 = 0 $$ $$ 4x - 11y - 3z - 11 = 0 $$ 答案为 $4x - 11y - 3z - 11 = 0$。
难度：★☆☆☆☆