📝 题目
1．填空题． （1）球 面 $2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-z=0$ 的球 心为 $\_\_\_\_$ ，半径为 $\_\_\_\_$。 （2）母线平行于 $y$ 轴，准线为 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 \\ y=1\end{array}\right.$ 的柱面方程为 $\_\_\_\_$ ． （3）$y O z$ 面上的曲线 $2 y^{2}+z=1$ 绕 $z$ 轴旋转一周所形成的曲面方程为 $\_\_\_\_$。 （4）曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=25 \\ x^{2}+y^{2}=4\end{array}\right.$ 在 $x O y$ 面上的投影柱面方程是 $\_\_\_\_$ .
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 球面方程： $$ 2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}-z=0 $$ 两边除以2： $$ x^{2}+y^{2}+z^{2}-\frac{1}{2}z=0 $$ 配方： $$ x^{2}+y^{2}+\left(z^{2}-\frac{1}{2}z+\frac{1}{16}\right)=\frac{1}{16} $$ 即 $$ x^{2}+y^{2}+\left(z-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16} $$ 所以球心为 $\displaystyle{}\left(0,0,\frac{1}{4}\right)$，半径为 $\displaystyle{}\frac{1}{4}$。
**（2）** 准线为 $$ \begin{cases} x^{2}+y^{2}+z^{2}=9\\ y=1 \end{cases} $$ 消去 $y$ 得： $$ x^{2}+1+z^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+z^{2}=8 $$ 母线平行于 $y$ 轴，故柱面方程为 $$ x^{2}+z^{2}=8 $$
**（3）** $yOz$ 面上的曲线 $2y^{2}+z=1$ 绕 $z$ 轴旋转，旋转曲面方程中 $y^{2}$ 替换为 $x^{2}+y^{2}$，得 $$ 2(x^{2}+y^{2})+z=1 $$ 即 $$ 2x^{2}+2y^{2}+z=1 $$
**（4）** 曲线 $$ \begin{cases} x^{2}+y^{2}+z^{2}=25\\ x^{2}+y^{2}=4 \end{cases} $$ 在 $xOy$ 面上的投影柱面，即消去 $z$： 由第一式减去第二式得 $$ z^{2}=21 $$ 但投影柱面应不含 $z$，直接由第二式 $x^{2}+y^{2}=4$ 即为所求投影柱面方程，因为它与 $z$ 无关且包含原曲线在 $xOy$ 上的投影。 因此投影柱面方程为 $$ x^{2}+y^{2}=4 $$
**答案：** （1）球心 $\displaystyle{}\left(0,0,\frac{1}{4}\right)$，半径 $\displaystyle{}\frac{1}{4}$ （2）$x^{2}+z^{2}=8$ （3）$2x^{2}+2y^{2}+z=1$ （4）$x^{2}+y^{2}=4$
难度：★★☆☆☆