📝 题目
10．化曲线的一般方程 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}=8 \text { ，为参数方程．} \\ x=2\end{array}\right.$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 给定曲线的一般方程为： $$ \begin{cases} x^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}=8, \\ x=2. \end{cases} $$ 首先将 $x=2$ 代入第一个方程： $$ 2^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}=8, $$ 即 $$ 4+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}=8, $$ 整理得 $$ (y-2)^{2}+(z+1)^{2}=4. $$ 这是一个在 $x=2$ 平面上的圆，圆心为 $(2,2,-1)$，半径为 $2$。
我们可以引入参数角 $\theta$，令 $$ y-2 = 2\cos\theta,\quad z+1 = 2\sin\theta, $$ 于是 $$ y = 2 + 2\cos\theta,\quad z = -1 + 2\sin\theta. $$ 又已知 $x=2$ 为常数，因此曲线的参数方程为： $$ \begin{cases} x = 2, \\ y = 2 + 2\cos\theta, \\ z = -1 + 2\sin\theta, \end{cases} \quad \theta \in [0, 2\pi). $$
难度：★☆☆☆☆