📝 题目
9．指出下列方程组表示什么曲线。 （1）$\left\{\begin{array}{l}4 x^{2}+9 y^{2}+z^{2}=37, \\ z=1 ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}z=x^{2}+y^{2}, \\ y=1 .\end{array}\right.$
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] （1）方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} 4 x^{2}+9 y^{2}+z^{2}=37, \\ z=1 ; \end{array}\right. $$ 将 $z=1$ 代入第一个方程，得 $$ 4x^{2}+9y^{2}+1=37 \quad\Rightarrow\quad 4x^{2}+9y^{2}=36. $$ 两边同除以 36： $$ \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1. $$ 这是平面 $z=1$ 上的一个椭圆，中心在 $(0,0,1)$，长轴在 $x$ 方向（半长轴 3），短轴在 $y$ 方向（半短轴 2）。 因此，该方程组表示一个**椭圆**。
（2）方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} z=x^{2}+y^{2}, \\ y=1 ; \end{array}\right. $$ 将 $y=1$ 代入第一个方程，得 $$ z=x^{2}+1. $$ 这是平面 $y=1$ 上的一条抛物线，开口向上，顶点在 $(0,1,1)$。 因此，该方程组表示一条**抛物线**。
难度评级：★☆☆☆☆