📝 题目
9．设平面过原点及点 $(6,-3,2)$ 且与平面 $4 x-y+2 z=8$ 垂直，求此平面方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 设所求平面方程为 $$ Ax + By + Cz + D = 0 $$ 由于平面过原点，代入 $(0,0,0)$ 得 $D = 0$，因此方程简化为 $$ Ax + By + Cz = 0 $$
又平面过点 $(6,-3,2)$，代入得 $$ 6A - 3B + 2C = 0 \quad (1) $$
已知所求平面与平面 $4x - y + 2z = 8$ 垂直，两平面垂直的条件是它们的法向量点积为零。已知平面的法向量为 $\vec{n}_1 = (4, -1, 2)$，所求平面的法向量为 $\vec{n}_2 = (A, B, C)$，于是 $$ 4A - B + 2C = 0 \quad (2) $$
联立 (1) 和 (2)： $$ \begin{cases} 6A - 3B + 2C = 0 \\ 4A - B + 2C = 0 \end{cases} $$ 两式相减得： $$ (6A - 3B + 2C) - (4A - B + 2C) = 0 \implies 2A - 2B = 0 \implies A = B $$
代入 (2)： $$ 4A - A + 2C = 0 \implies 3A + 2C = 0 \implies C = -\frac{3}{2}A $$
取 $A = 2$（避免分数），则 $B = 2$，$C = -3$。 因此平面方程为 $$ 2x + 2y - 3z = 0 $$
难度：★★☆☆☆