📝 题目
5．设点 $P$ 在 $y$ 轴上，它到点 $P_{1}(\sqrt{2}, 0,3)$ 的距离为到点 $P_{2}(1,0,-1)$ 的距离的两倍，求点 $P$ 的坐标。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 设点 $P$ 在 $y$ 轴上，因此其坐标为 $P(0, y, 0)$。 根据题意，点 $P$ 到点 $P_1(\sqrt{2}, 0, 3)$ 的距离是到点 $P_2(1, 0, -1)$ 的距离的两倍，即：
$$ |PP_1| = 2\,|PP_2| $$
分别计算距离：
$$ |PP_1| = \sqrt{(0 - \sqrt{2})^2 + (y - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{2 + y^2 + 9} = \sqrt{y^2 + 11} $$
$$ |PP_2| = \sqrt{(0 - 1)^2 + (y - 0)^2 + (0 + 1)^2} = \sqrt{1 + y^2 + 1} = \sqrt{y^2 + 2} $$
代入条件：
$$ \sqrt{y^2 + 11} = 2 \sqrt{y^2 + 2} $$
两边平方：
$$ y^2 + 11 = 4(y^2 + 2) $$
展开：
$$ y^2 + 11 = 4y^2 + 8 $$
移项：
$$ 11 - 8 = 4y^2 - y^2 $$ $$ 3 = 3y^2 $$
解得：
$$ y^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad y = \pm 1 $$
因此点 $P$ 的坐标为 $(0, 1, 0)$ 或 $(0, -1, 0)$。
难度：★☆☆☆☆