人邮高数 第1章 第1-3-2题
📝 题目
2．下列函数是否有水平渐近线？若有水平渐近线，写出其方程．
（1）$\displaystyle y=\frac{3 x+1}{x}$ ；
（2）$\displaystyle y=\frac{1}{x^{2}+1}$ ；
（3）$\displaystyle y=\frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-1}$ ；
（4）$\displaystyle y=\frac{x^{2}+x-1}{x+1}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
水平渐近线由函数在 $x \to +\infty$ 或 $x \to -\infty$ 时的极限决定。若极限存在且为常数 $L$，则 $y = L$ 为水平渐近线。
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(1) $\displaystyle y = \frac{3x+1}{x}$
计算极限：
$$
\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \frac{3x+1}{x} = \lim_{x \to \infty} \left(3 + \frac{1}{x}\right) = 3}
$$
因此有水平渐近线 $y = 3$。
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(2) $\displaystyle y = \frac{1}{x^2+1}$
计算极限：
$$
\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2+1} = 0}
$$
因此有水平渐近线 $y = 0$。
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(3) $\displaystyle y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1}$
先化简（注意 $x \neq \pm 1$）：
$$
\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-2}{x+1},\quad x \neq 1
$$
计算极限：
$$
\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \frac{x-2}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 1}
$$
因此有水平渐近线 $y = 1$。
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(4) $\displaystyle y = \frac{x^2 + x - 1}{x+1}$
计算极限：
$$
\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x - 1}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2})}{x(1 + \frac{1}{x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot (1 + 0 - 0)}{1 + 0} = \infty}
$$
极限不存在（趋于无穷），因此没有水平渐近线。
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最终答案：
(1) 有，$y=3$
(2) 有，$y=0$
(3) 有，$y=1$
(4) 无