📝 题目
1．选择题． （1）以下二元函数的性质中，（ ）是其他的充分条件。 A．连续 B．偏导数存在 C．可微 D．偏导数连续 （2）若函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 存在，则在 $P_{0}$ 处 （ ） A．连续 B．可微 C．不一定连续 D．一定不连续 （3）设 $z=x^{y}$ ，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(\mathrm{e}, 1)}=(\quad)$ ． A． 1 B． e C． 0 D．$\frac{1}{\mathrm{e}}$ （4）设 $z=\ln \frac{x}{y}$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=(\quad)$ ． A．$\frac{y}{x}$ B．$\frac{1}{x}$ C．$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$ D．$\frac{1}{y}$ （5）设 $z=\mathrm{e}^{x y}$ ，则 $\mathrm{d} z=$（ ）． A． $\mathrm{e}^{x y} \mathrm{~d} x$ B．$(x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x) \mathrm{e}^{x y}$ C．$x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x$ D．$(x+y) \mathrm{e}^{x y}$
💡 答案与解析
[AI解答]
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**习题6-2 选择题解答**
**(1)** 分析：二元函数中，偏导数连续 ⇒ 可微 ⇒ 连续，且可微 ⇒ 偏导数存在。因此“偏导数连续”是其他性质的充分条件。 答案：**D**
**(2)** 分析：偏导数存在不能保证函数连续，例如 $$ f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0)\\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases} $$ 在(0,0)处两个偏导数存在（均为0），但函数不连续。 答案：**C**
**(3)** 已知 $ z = x^y $，则 $$ \frac{\partial z}{\partial y} = x^y \ln x $$ 代入点 $(\mathrm{e}, 1)$： $$ \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(\mathrm{e},1)} = \mathrm{e}^1 \ln \mathrm{e} = \mathrm{e} \cdot 1 = \mathrm{e} $$ 答案：**B**
**(4)** 已知 $ z = \ln\frac{x}{y} = \ln x - \ln y $，则 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x} $$ 答案：**B**
**(5)** 已知 $ z = \mathrm{e}^{xy} $，则 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = y\mathrm{e}^{xy},\quad \frac{\partial z}{\partial y} = x\mathrm{e}^{xy} $$ 全微分： $$ \mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y = y\mathrm{e}^{xy}\mathrm{d}x + x\mathrm{e}^{xy}\mathrm{d}y = (y\mathrm{d}x + x\mathrm{d}y)\mathrm{e}^{xy} $$ 答案：**B**
难度：★☆☆☆☆