第6章

6-1-1 📝 有解析

第6-1-1题

1．填空题． （1）设二元函数 $z=|x y|+\frac{y}{x}$ ，则 $z\left(-1, \frac{2}{3}\right)=$ $\_\_\_\_$ ． （2）设二元函数 $f(x, y)=x y+\frac{x}{y}$ ，则 $f\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)=$ $\_\_\_\_$ ； $f(x+y, 1)=$ $\_\_\_\_$ ． （3）设二元函数 $f(x, y)=x^{2}+y^{2}$ ，则 $f(\sqrt{x y}, x+y)=$ $\_\_\_\_$ ． （4）设 $f(x+y, x-y)=x^{2}-y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ． （5）设 $f(x, y)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}$ ，则 $f\left(\frac{y}{x}, 1\right)=$ $\_\_\_\_$。 （6）二元函数 $z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}-1}}$ 的定义域是 $\_\_\_\_$ ．

6-1-2 📝 有解析

第6-1-2题

2．求下列函数的定义域． （1）$z=\ln (x y)$ ； （2）$z=\arcsin (x+y)$ ； （3）$z=\arcsin (1-y)+\ln (x-y)$ ； （4）$z=\frac{\sqrt{y^{2}-x}}{x}$ ； （5）$z=\frac{1}{\sqrt{x-y}}+\frac{1}{y}$ ； （6）$z=\frac{\sqrt{4 x-y^{2}}}{\ln \left(1-x^{2}-y^{2}\right)}$ ； （7）$z=\frac{\arcsin y}{\sqrt{x}}$ ； （8）$z=\ln (x+y-1)+\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}$ ．

6-1-3 📝 有解析

第6-1-3题

3．求下列函数的极限． （1） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}-1}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{2 x-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\mathrm{e}^{x y} \sqrt{1+x+y}}{1+\cos ^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\ln \left(x+\mathrm{e}^{y}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} y^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x^{3}+y^{3}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ；

6-1-4 📝 有解析

第6-1-4题

4．证明下列极限不存在． （1） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin (x-y)}{x+y}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}-x}$ ．

6-1-5 📝 有解析

第6-1-5题

5．讨论下列函数在点 $(0,0)$ 处的连续性． （1）$f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 ;\end{cases}$ （2）$f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{cases}$

6-1-6 📝 有解析

第6-1-6题

6．判定下列函数在何处间断． （1）$z=\frac{\mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}-1}$ ； （2）$z=\frac{y^{2}+2 x}{y^{2}-2 x}$ ； （3）$z=\frac{x+y}{y-2 x^{2}}$ ； （4）$z=\sin \frac{1}{x+y}$ ．

6-2-1 📝 有解析

第6-2-1题

1．选择题． （1）以下二元函数的性质中，（ ）是其他的充分条件。 A．连续 B．偏导数存在 C．可微 D．偏导数连续 （2）若函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 存在，则在 $P_{0}$ 处 （ ） A．连续 B．可微 C．不一定连续 D．一定不连续 （3）设 $z=x^{y}$ ，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(\mathrm{e}, 1)}=(\quad)$ ． A． 1 B． e C． 0 D．$\frac{1}{\mathrm{e}}$ （4）设 $z=\ln \frac{x}{y}$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=(\quad)$ ． A．$\frac{y}{x}$ B．$\frac{1}{x}$ C．$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$ D．$\frac{1}{y}$ （5）设 $z=\mathrm{e}^{x y}$ ，则 $\mathrm{d} z=$（ ）． A． $\mathrm{e}^{x y} \mathrm{~d} x$ B．$(x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x) \mathrm{e}^{x y}$ C．$x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x$ D．$(x+y) \mathrm{e}^{x y}$

6-2-10 📝 有解析

第6-2-10题

10．求函数 $z=\frac{y}{x}$ ，当 $x=2, y=1, \Delta x=0.1, \Delta y=-0.2$ 时的全增量和全微分．

6-2-11 📝 有解析

第6-2-11题

11．求下列函数的全微分． （1）$z=\frac{y}{x}$ ； （2）$z=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ； （3）$u=\mathrm{e}^{z+\frac{x}{y}}$ ； （4）$u=x^{2} y z+\cos 2 y$ ．

6-2-12 📝 有解析

第6-2-12题

12．设 $z=\ln \left(1+\frac{x}{y}\right)$ ，求 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1,1)}$ ．

6-2-13 📝 有解析

第6-2-13题

13．设 $z=x \ln (x y)$ ，求 $\frac{\partial^{3} z}{\partial x^{2} \partial y}, \frac{\partial^{3} z}{\partial x \partial y^{2}}$ ．

6-2-14 📝 有解析

第6-2-14题

14．证明函数 $u=\frac{1}{r}$ 满足拉普拉斯方程： $$ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0 $$ 其中 $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ． ＊ 15 ．求 $\sqrt{1.02^{3}+1.97^{3}}$ 的近似值．

6-2-2 📝 有解析

第6-2-2题

2．填空题． （1）设 $z=\arctan (x y)$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$ ； （2）设 $f(x, y)=\ln \left(x+\frac{y}{2 x}\right)$ ，则 $f_{y}(1,0)=$ $\_\_\_\_$ ； （3）函数 $z=\frac{x^{2} y^{2}}{x+y}$ 在点 $(1,1)$ 的偏导数 $\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{\substack{x=1 \\ y=1}}$ 为 $\_\_\_\_$ ； （4）设 $f(x, y)=x+y-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，则 $f_{x}(3,4)=$ $\_\_\_\_$ ； （5）设 $z=f^{2}(x y)$ ，其中 $f$ 可微，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$ ； （6）设 $u=\mathrm{e}^{x+x y}$ ，则全微分 $\mathrm{d} u=$ $\_\_\_\_$ ； （7）设 $z=\ln \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1,1)}=$ $\_\_\_\_$ ； （8）设 $u=\left(\frac{x}{y}\right)^{z}$ ，则 $\left.\mathrm{d} u\right|_{(1,1,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．

6-2-3 📝 有解析

第6-2-3题

3．计算下列函数的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ． （1）$z=\cos \left(x y^{2}\right)$ ； （2）$z=\ln \left(x^{2}+y\right)$ ； （3）$z=\mathrm{e}^{x+y}+y x^{2}$ ； （4）$z=\arctan \frac{y}{x}$ ； （5）$z=\frac{\mathrm{e}^{x y}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{y}}$ ； （6）$z=\ln \tan \frac{x}{y}$ ．

6-2-4 📝 有解析

第6-2-4题

4．求下列函数在指定点的偏导数． （1）$z=(2 y+1)^{x}$ ，求 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=0 \\ y=0}}$ ； （2）$f(x, y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ，求 $f_{y}(3,4)$ ； （3）$f(x, y)=x+(y-1) \arcsin \sqrt{\frac{x}{y}}$ ，求 $f_{x}(x, 1)$ ； （4）$f(x, y)=x^{2}+\ln \left(y^{2}+1\right) \arctan x^{y+1}$ ，求 $f_{x}(x, 0)$ ．

6-2-5 📝 有解析

第6-2-5题

5．设 $z=\mathrm{e}^{-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}$ ，求证 $x^{2} \frac{\partial z}{\partial x}+y^{2} \frac{\partial z}{\partial y}=2 z$ ．

6-2-6 📝 有解析

第6-2-6题

6．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=\frac{x^{2}+y^{2}}{4}, \\ y=4\end{array}\right.$ 在点 $(2,4,5)$ 处的切线关于 $x$ 轴的斜率．

6-2-7 📝 有解析

第6-2-7题

7．求下列三元函数的偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial u}{\partial y} 、 \frac{\partial u}{\partial z}$ ． （1）$u=x^{y z}$ ； （2）$u=x^{\sin \frac{y}{z}}$ ．

6-2-8 📝 有解析

第6-2-8题

8．求下列函数 $z=f(x, y)$ 的二阶偏导数 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ． （1）$z=2 x^{2}+3 x y-y^{2}$ ； （2）$z=\mathrm{e}^{a x} \cos b y$ ； （3）$z=\cos ^{2}(2 x+3 y)$ ； （4）$z=\ln \left(x+y^{2}\right)$ ； （5）$z=\arcsin (x y)$ ； （6）$z=x \sin (x+y)+y \cos (x+y)$ ．

6-2-9 📝 有解析

第6-2-9题

9．求函数 $z=\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)$ 当 $x=1, y=2$ 时的全微分．

6-2-*16 📝 有解析

第6-2-*16题

＊16．当 $x 、 y$ 的绝对值很小时，推出函数 $\arctan \frac{x y}{1+x y}$ 的近似公式．

6-2-*17 📝 有解析

第6-2-*17题

＊17．已知边长为 $x=6 \mathrm{~m}$ 与 $y=8 \mathrm{~m}$ 的矩形，如果 $x$ 边增加 5 cm 而 $y$ 减少 10 cm ，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？

6-2-*18 📝 有解析

第6-2-*18题

＊18．设函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 讨论该函数在 $(0,0)$点的连续性、可导性与可微性。

6-2-*19 📝 有解析

第6-2-*19题

＊19．设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 试求 $f_{x y}(0,0)$ 及 $f_{y x}(0,0)$ 。

6-3-1 📝 有解析

第6-3-1题

1．下列函数确定了 $z$ 是 $t$ 的函数，求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ ． （1）$z=\mathrm{e}^{u v}, u=\sin t, v=\cos t$ ； （2）设 $z=\arcsin \left(x-y^{2}\right), x=3 t, y=4 t^{2}$ ； （3）$z=\ln (x+y)+\arctan t, x=2 t, y=2 t^{3}$ ； （4）$z=\tan \left(3 t+2 x^{2}-y^{2}\right), x=\frac{1}{t}, y=\sqrt{t}$ ．

6-3-10 📝 有解析

第6-3-10题

10．设 $z=f\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ，其中函数 $f$ 有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．

6-3-11 📝 有解析

第6-3-11题

11．设 $z=f(u, x, y)$ ，而 $u=x \mathrm{e}^{y}$ ，其中函数 $f$ 有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ 、 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.

6-3-12 📝 有解析

第6-3-12题

12．设 $z=\mathrm{e}^{u} \sin v$ ，而 $u=x y, v=x+y$ ，利用全微分形式不变性求 $z_{x}$ 和 $z_{y}$ ．

6-3-13 📝 有解析

第6-3-13题

13．利用一阶全微分形式的不变性求函数 $u=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 的偏导数．

6-3-14 📝 有解析

第6-3-14题

14．下列方程确定了 $y$ 是 $x$ 的函数，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ． （1） $\sin y+\mathrm{e}^{x}-x y^{2}=0$ ； （2） $\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\arctan \frac{y}{x}$ ； （3）$y=1+x \mathrm{e}^{y}$ ； （4）$x^{y}=y^{x}$ ．

6-3-15 📝 有解析

第6-3-15题

15．下列方程确定了 $z$ 是 $x 、 y$ 的函数，求 $\frac{\partial z}{\partial x} 、 \frac{\partial z}{\partial y}$ ． （1） $\mathrm{e}^{x}-x y z=0$ ； （2）$z^{3}-3 x y z=0$ ； （3） $2 x z+\ln (x y z)=0$ ； （4） $\sin (x-2 y+3 z)=x+2 y-3 z$ ； （5）$x^{2}+y^{2}+2 x-2 y z=\mathrm{e}^{z}$ ； （6）$z^{3}-3 x y z=a^{3}$（ $a$ 是常数）．

6-3-16 📝 有解析

第6-3-16题

16．设 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 z=0$ ，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ ．

6-3-17 📝 有解析

第6-3-17题

17．设 $z=z(x, y)$ 由方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=y f(z)$ 所确定（其中 $y f^{\prime} \neq 2 z$ ），试求 $\frac{\partial z}{\partial x} 、 \frac{\partial z}{\partial y}$ ．

6-3-18 📝 有解析

第6-3-18题

18．设 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 x y z(*), f(x, y, z)=x y^{2} z^{3}$ 。 （1）设 $z=z(x, y)$ 是由方程（＊）所确定的隐函数，求 $f_{x}(1,1,1)$ ； （2）设 $y=y(x, z)$ 是由方程（＊）所确定的隐函数，求 $f_{x}(1,1,1)$ ．

6-3-19 📝 有解析

第6-3-19题

19．设方程 $x+y+z=\mathrm{e}^{z}$ 确定了隐函数 $z=z(x, y)$ ，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ ．

6-3-2 📝 有解析

第6-3-2题

2．设 $z=u^{2} \ln v, u=\frac{y}{x}, v=2 x-3 y$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ ．

6-3-20 📝 有解析

第6-3-20题

20．设 $z=x y+u, u=\varphi(x, y)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．

6-3-21 📝 有解析

第6-3-21题

21．求下列方程组确定的函数的导数或偏导数． （1）$\left\{\begin{array}{l}z=x^{2}+y^{2}, \\ x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=20,\end{array}\right.$ 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} 、 \frac{\mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}$ 。 （2）$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=\frac{1}{2} z^{2}, \\ x+y+z=2,\end{array}\right.$ 求 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} z} 、 \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} z}$ ． （3）$\left\{\begin{array}{l}u^{3}+x v-y=0, \\ v^{3}+y u-x=0,\end{array}\right.$ 求 $\frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial v}{\partial x}$ 。 （4）$\left\{\begin{array}{l}x+y=u+v \\ x \sin v=y \sin u,\end{array}\right.$ 求 $\frac{\partial u}{\partial y} 、 \frac{\partial v}{\partial y}$ ．

6-3-22 📝 有解析

第6-3-22题

22．设函数 $u=x^{2}+y z$ ，而 $z=z(x, y)$ 是由方程 $z=f(x, y+z)$ 确定的可微函数，其中 $f$ 具有连续的偏导数且 $f_{2}^{\prime} \neq 1$ ，求偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial u}{\partial y}$ ．

6-3-23 📝 有解析

第6-3-23题

23．设 $y=f(x, t)$ ，其中 $t=t(x, y)$ 由方程 $F(x, y, t)=0$ 确定，求 $y$ 对 $x$ 的导数，其中函数 $f 、 F$ 均可微．

6-3-24 📝 有解析

第6-3-24题

24．设 $u=f(x, y, z), y=\varphi(x, t), t=\psi(x, z)$ ，其中 $f$ 、 $\varphi$ 、 $\psi$ 均可微，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$ ．

6-3-25 📝 有解析

第6-3-25题

25．设函数 $z=f\left(x^{2}-y^{2}, x^{y}\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．

6-3-26 📝 有解析

第6-3-26题

26．设函数 $u=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ ．

6-3-27 📝 有解析

第6-3-27题

27．设函数 $f(u)$ 可微，$\varphi^{\prime}(u)$ 连续且 $\varphi^{\prime}(u) \neq 1, P(t)$ 连续，又 $z=f(u)$ 且 $u=\varphi(u)+ \displaystyle{\int}_{y}^{x} P(t) \mathrm{d} t$ ，求 $P(x) \frac{\partial z}{\partial y}+P(y) \frac{\partial z}{\partial x}$ ．

6-3-28 📝 有解析

第6-3-28题

28．设 $z=z(x, y)$ 为可微函数，且当 $y=x^{2}$ 时有 $z(x, y)=1$ 及 $\frac{\partial z}{\partial x}=x(x \neq 0)$ ，求当 $y=x^{2}$ 时的 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．

6-3-29 📝 有解析

第6-3-29题

29．设 $u=f(z), z=y+x \varphi(z)$ ，其中 $f 、 \varphi$ 可导且 $1-x \varphi^{\prime}(z) \neq 0$ ，求 $\frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial u}{\partial y}$ ．

6-3-3 📝 有解析

第6-3-3题

3．设 $z=\mathrm{e}^{u} \sin v$ ，而 $u=x y, v=x+y$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．

6-3-30 📝 有解析

第6-3-30题

30．设函数 $u(x, y)$ 满足方程 $F\left(\frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial u}{\partial y}\right)=0$ ，其中 $u(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，$F$具有不同时为零的偏导数 $F_{1}^{\prime} 、 F_{2}^{\prime}$ ，求 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right)^{2}$ ．

6-3-31 📝 有解析

第6-3-31题

31．求函数 $z=x^{2}+y^{2}$ 在点 $(1,2)$ 处沿从该点到点 $(2,2+\sqrt{3})$ 的方向的方向导数．

6-3-32 📝 有解析

第6-3-32题

32．求函数 $z=\cos (x+y)$ 在点 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 处沿向量（ $3,-4$ ）的方向的方向导数．

6-3-33 📝 有解析

第6-3-33题

33．求函数 $z=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ 在点 $(1,1)$ 处沿方向余弦 $\cos \alpha=\frac{1}{2}, \cos \beta=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的方向的方向导数．

6-3-34 📝 有解析

第6-3-34题

34．求函数 $u=x y^{2}+z^{3}-x y z$ 在点 $(1,1,2)$ 处沿方向角 $\alpha=\frac{\pi}{3}, \beta=\frac{\pi}{4}, \gamma=\frac{\pi}{3}$ 的方向的方向导数．

6-3-35 📝 有解析

第6-3-35题

35．求函数 $u=\left(\frac{x}{y}\right)^{z}$ 在点 $(1,1,1)$ 处沿向量 $(2,1,-1)$ 的方向的方向导数．

6-3-36 📝 有解析

第6-3-36题

36．设 $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，求 $\operatorname{grad} f(1,-1,2)$ ．

6-3-37 📝 有解析

第6-3-37题

37．求函数 $u=x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+3 x-2 y$ 在点 $(1,1,2)$ 处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？

6-3-38 📝 有解析

第6-3-38题

38．求函数 $u=x y^{2}+z^{3}-x y z$ 在点 $P_{0}(1,1,1)$ 处沿哪个方向的方向导数最大？最大值是多少？

6-3-39 📝 有解析

第6-3-39题

39．设 $f(r)$ 为可微函数，$r=|\boldsymbol{r}|, \boldsymbol{r}=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}$ ．求 $\boldsymbol{g r a d} f(r)$ ．

6-3-4 📝 有解析

第6-3-4题

4．设 $z=x^{2} y-x y^{2}, x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial r} 、 \frac{\partial z}{\partial \theta}$ ．

6-3-40 📝 有解析

第6-3-40题

40．设向量 $\boldsymbol{u}=3 \boldsymbol{i}-4 \boldsymbol{j}, \boldsymbol{v}=4 \boldsymbol{i}+3 \boldsymbol{j}$ ，函数 $f(x, y)$ 在点 $P$ 处可微且 $\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{P}=-6,\left.\frac{\partial f}{\partial v}\right|_{P}=17$ ，求 $\left.\mathrm{d} f\right|_{P}$ ．

6-3-41 📝 有解析

第6-3-41题

41．一块金属板在 $x O y$ 平面上占据的区域是 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，已知板上各点的温度是 $T=x y(1-x)(1-y)$ ，在点 $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right)$ 处有一条昆虫，为了尽可能快地逃到冷的地方，它应当按什么方向运动？

6-3-42 📝 有解析

第6-3-42题

42．求函数 $u=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$（其中常数 $\left.a\gt 0, b\gt 0, c\gt 0\right)$ 在已知点 $M(x, y, z)$处沿此点的向径 $\boldsymbol{r}$ 的方向导数，并问当 $a 、 b 、 c$ 为何关系时，才能使方向导数等于梯度的模。

6-3-5 📝 有解析

第6-3-5题

5．设 $u=\sin x+F(\sin y-\sin x)$ ，其中 $F$ 是可微函数，证明： $$ \frac{\partial u}{\partial x} \cos y+\frac{\partial u}{\partial y} \cos x=\cos x \cdot \cos y . $$

6-3-6 📝 有解析

第6-3-6题

6．设 $f$ 具有一阶连续偏导数，求下列函数的一阶偏导数． （1）$z=f(3 x+2 y, 4 x-3 y)$ ； （2）$z=f\left(x^{2}-y^{2}, \mathrm{e}^{x y}\right)$ ； （3）$z=f(y \ln x, 2 x+3 y)$ ； （4）$z=f\left(\frac{y}{x}, \frac{x}{y}\right)$ ； （5）$z=f(x, x+y, x-y)$ ； （6）$u=f(x, x y, x y z)$ ．

6-3-7 📝 有解析

第6-3-7题

7．设 $w=f(x+x y+x y z)$ ，求 $\frac{\partial w}{\partial x} 、 \frac{\partial w}{\partial y} 、 \frac{\partial w}{\partial z}$ ．

6-3-8 📝 有解析

第6-3-8题

8．设 $z=f\left(\mathrm{e}^{x y}, x^{2}-y^{2}\right)$ ，其中 $f(\xi, \eta)$ 有连续的二阶偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial y} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ ．

6-3-9 📝 有解析

第6-3-9题

9．设 $w=f(x+y+z, x y z)$ ，其中函数 $f$ 有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial w}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial^{2} w}{\partial x \partial z}$ ．

6-4-1 📝 有解析

第6-4-1题

1．填空题． （1）曲线 $x=\cos t, y=\sin t, z=\sin t+\cos t$ 在对应的点 $t=0$ 处的切线与平面 $x+B y-z=0$ 平行，则 $B=$ $\_\_\_\_$ ； （2）曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 在点 $(1,1,2)$ 处的法线与平面 $A x+B y+z+1=0$ 垂直，则 $A=$ $\_\_\_\_$ ，$B=$ $\_\_\_\_$。

6-4-10 📝 有解析

第6-4-10题

10．证明曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a \mathrm{e}^{t} \cos t, \\ y=a \mathrm{e}^{t} \sin t, \\ z=a \mathrm{e}^{t}\end{array}\right.$ 与锥面 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 的母线相交成一定角．

6-4-11 📝 有解析

第6-4-11题

11．设函数 $f(u, v)$ 具有不同时为零的一阶连续偏导数． （1）写出曲面 $\Sigma: f(a x-b z, a y-c z)=0$（其中 $a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq 0$ ）上任一点处的切平面方程； （2）证明该曲面上任一点的法线向量都与某确定的向量正交（垂直）并写出该向量。

6-4-12 📝 有解析

第6-4-12题

12．证明曲面 $z=x f\left(\frac{y}{x}\right)$ 上任一点处的切平面都过原点，其中 $z$ 具有连续导数。

6-4-13 📝 有解析

第6-4-13题

13．证明曲面 $x y z=a^{3}(a\gt 0)$ 上任一点处的切平面与坐标面围成的四面体的体积为定值．

6-4-14 📝 有解析

第6-4-14题

14．设曲面 $\Sigma: z=x \mathrm{e}^{\frac{y}{x}}$ ，点 $M(x, y, z) \in \Sigma$ ，试证曲面 $\Sigma$ 在点 $M$ 处的法线垂直于直线 $O M$（其中 $O$ 为坐标原点）。

6-4-15 📝 有解析

第6-4-15题

15．求下列函数的极值． （1）$f(x, y)=x^{3}-4 x^{2}+2 x y-y^{2}+3$ ； （2）$f(x, y)=3 x y-x^{3}-y^{3}$ ； （3）$f(x, y)=\mathrm{e}^{2 x}\left(x+y^{2}+2 y\right)$ ； （4）$f(x, y)=\left(6 x-x^{2}\right)\left(4 y-y^{2}\right)$ ； （5）$f(x, y)=4(x-y)-x^{2}-y^{2}$ ； （6）$f(x, y)=x y+\frac{8}{x}+\frac{27}{y}$ ； （7）$f(x, y)=\mathrm{e}^{x-y}\left(x^{2}-2 y^{2}\right)$ ； （8）$f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．

6-4-16 📝 有解析

第6-4-16题

16．要制造一个容积为 $4 \mathrm{~m}^{3}$ 的无盖水箱，问它的长宽高应各取什么样的尺寸时，才能使所用材料最省？

6-4-17 📝 有解析

第6-4-17题

17．求椭圆 $x^{2}+3 y^{2}=12$ 的内接等腰三角形（三角形底边平行于椭圆长轴）的最大面积．

6-4-18 📝 有解析

第6-4-18题

18．求旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $x+y-z=1$ 之间的最短距离．

6-4-19 📝 有解析

第6-4-19题

19．在 $x O y$ 面上求一点，使它到直线 $x=0$ ．直线 $y=0$ 和直线 $x+2 y-16=0$ 的距离的平方和最小。

6-4-2 📝 有解析

第6-4-2题

2．求下列曲线在指定点处的切线及法平面方程． （1）$x=t, y=t^{2}, z=\frac{t}{1+t}$ 在点 $\left(1,1, \frac{1}{2}\right)$ 处； （2）$x=\frac{t}{1+t}, y=\frac{1+t}{t}, z=t^{2}$ 在对应点 $t=1$ 处； （3）$x=\frac{2 t}{1+t}, y=\frac{1-t}{t}, z=\sqrt{t}$ 在点 $(1,0,1)$ 处； （4）$x=t-\sin t, y=1-\cos t, z=4 \sin \frac{t}{2}$ 在点 $\left(\frac{\pi}{2}-1,1,2 \sqrt{2}\right)$ 处； （5）$x=2 \sin ^{2} t, y=3 \sin t \cos t, z=\cos ^{2} t$ 在对应点 $t=\frac{\pi}{4}$ 处； （6）$\left\{\begin{array}{l}y=2 x^{2}, \\ z=3 x+1\end{array}\right.$ 在点 $M(0,0,1)$ 处； （7）$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=2, \\ x^{2}+z^{2}=2\end{array}\right.$ 在点 $M(1,1,1)$ 处； （8）$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}-3 x=0, \\ 2 x-3 y+5 z-4=0\end{array}\right.$ 在点 $M(1,1,1)$ 处。

6-4-20 📝 有解析

第6-4-20题

20．把正数 $a$ 分成三个正数之和，使它们的乘积为最大，求这三个正数。

6-4-21 📝 有解析

第6-4-21题

21．求内接于半径为 $R$ 的球且有最大体积的长方体．

6-4-22 📝 有解析

第6-4-22题

22．在陏球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 上求一点，使其三个坐标的乘积最大。

6-4-23 📝 有解析

第6-4-23题

23．证明函数 $z=\left(1+\mathrm{e}^{y}\right) \cos x-y \mathrm{e}^{y}$ 有无穷多个极大值而无一极小值．

6-4-24 📝 有解析

第6-4-24题

24．求二元函数 $z=f(x, y)=x^{2} y(4-x-y)$ 在直线 $x+y=6, x$ 轴和 $y$ 轴所围成的闭区域 $D$ 上的最大值与最小值．

6-4-25 📝 有解析

第6-4-25题

25．求函数 $f(x, y)=3 x^{2}+3 y^{2}-x^{3}$ 在区域 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 16$ 上的最小值．

6-4-26 📝 有解析

第6-4-26题

26．求两直线 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x, \\ z=x+1\end{array}\right.$ 与 $\left\{\begin{array}{l}y=x+3 \text { ，之间的最短距离．} \\ z=x\end{array}\right.$ ．

6-4-27 📝 有解析

第6-4-27题

27．证明不等式 $$ a b^{2} c^{3} \leqslant 108\left(\frac{a+b+c}{6}\right)^{6}, $$ 其中 $a 、 b 、 c$ 是任意的非负实数． \begin{tabular}{|l|l|} \hline 多元函数极限与连续 & \begin{tabular}{l} 理解多元函数的概念 \\ 了解二元函数的极限与连续性的概念 \\ 了解有界闭区域上连续函数的性质 \end{tabular} \\ \hline 偏导数与全微分 & \begin{tabular}{l} 理解偏导数和全微分的概念 \\ 了解全微分存在的必要条件和充分条件 \\ 了解一阶全微分形式的不变性 \end{tabular} \\ \hline 复合函数、隐函数求导，方向导数 & \begin{tabular}{l} 掌握复合函数一阶偏导数的求法 \\ 会求复合函数的二阶偏导数 \\ 会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数 \\ 《解方向导数与梯度的概念及其计算方法 \end{tabular} \\ \hline 多元函数微分的应用 & \begin{tabular}{l} 了解曲线的切线和法平面，会求其方程 \\ 了解曲面的切平面与法线，会求其方程 \\ 了解多元函数极值和条件极值的概念 \\ 会求二元函数的极值 \\ （了解求条件极值的拉格朗日乘数法 \\ 会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题 \end{tabular} \\ \hline \end{tabular}

6-4-3 📝 有解析

第6-4-3题

3．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t, \\ y=-t^{2} \\ z=t^{3}\end{array}\right.$ 与平面 $x+2 y+z-4=0$ 平行的切线方程．

6-4-4 📝 有解析

第6-4-4题

4．求下列曲面在指定点处的切平面及法线方程． （1） $\mathrm{e}^{z}-z+x y=3, M(2,1,0)$ ； （2）$z=x^{2}+y^{2}, M(2,1,5)$ ； （3）$z=\arctan \frac{y}{x}, M_{0}\left(1,1, \frac{\pi}{4}\right)$ ； （4）$z=y+\ln \frac{x}{z}, M_{0}(1,1,1)$ ．

6-4-5 📝 有解析

第6-4-5题

5．求抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 的切平面，使该切平面平行于平面 $x-y+2 z=0$ ．

6-4-6 📝 有解析

第6-4-6题

6．试求曲面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-3=0$ 上垂直于直线 $\left\{\begin{array}{l}x+y+1=0, \\ z-3=0\end{array}\right.$ 的切平面方程．

6-4-7 📝 有解析

第6-4-7题

7．求空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x-y-z=1, \\ x^{3}-y^{2}-z^{3}=1\end{array}\right.$ 在点（1，1，－1）处的切线方程．

6-4-8 📝 有解析

第6-4-8题

8．求空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=6, \\ z=x^{2}+y^{2}\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,2)$ 处的切线方程．

6-4-9 📝 有解析

第6-4-9题

9．证明螺旋线 $x=a \cos t, y=a \sin t, z=b t$ 上任一点处的切线都与 $z$ 轴形成定角．