📝 题目
16．设 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 z=0$ ，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知方程 $$ x^{2}+y^{2}+z^{2}-4z=0 $$ 这是一个隐函数方程，将 $z$ 视为 $x, y$ 的函数。先对方程两边关于 $x$ 求偏导（注意 $z$ 是 $x,y$ 的函数）：
$$ \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) + \frac{\partial}{\partial x}(y^{2}) + \frac{\partial}{\partial x}(z^{2}) - \frac{\partial}{\partial x}(4z) = 0 $$ 即 $$ 2x + 0 + 2z \frac{\partial z}{\partial x} - 4 \frac{\partial z}{\partial x} = 0 $$ 整理得 $$ 2x + (2z-4)\frac{\partial z}{\partial x} = 0 $$ 解得 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-2x}{2z-4} = \frac{x}{2-z} $$
接下来再对 $x$ 求一次偏导，即求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$。对 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{2-z} $$ 两边关于 $x$ 求偏导（注意 $z$ 仍是 $x$ 的函数），使用商法则：
$$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{(1)(2-z) - x\left(-\frac{\partial z}{\partial x}\right)}{(2-z)^{2}} $$ 即 $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{2-z + x\frac{\partial z}{\partial x}}{(2-z)^{2}} $$ 将 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{2-z}$ 代入：
$$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{2-z + x\cdot \frac{x}{2-z}}{(2-z)^{2}} = \frac{2-z + \frac{x^{2}}{2-z}}{(2-z)^{2}} $$ 通分分子： $$ \frac{ \frac{(2-z)^{2} + x^{2}}{2-z} }{(2-z)^{2}} = \frac{(2-z)^{2} + x^{2}}{(2-z)^{3}} $$
由原方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4z=0$ 可得 $$ x^{2} = 4z - z^{2} - y^{2} $$ 但注意我们只需要关于 $x$ 的二阶偏导，可以保留 $x^{2}$ 形式，或利用原方程化简。由原方程得 $$ x^{2}+y^{2}+(z^{2}-4z+4)=4 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=4 $$ 因此 $$ (2-z)^{2} = (z-2)^{2} = 4 - x^{2} - y^{2} $$ 代入分子： $$ (2-z)^{2} + x^{2} = (4 - x^{2} - y^{2}) + x^{2} = 4 - y^{2} $$ 于是 $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{4 - y^{2}}{(2-z)^{3}} $$
因此最终结果为 $$ \boxed{\dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \dfrac{4 - y^{2}}{(2-z)^{3}}} $$
难度：★★☆☆☆