📝 题目
21．求内接于半径为 $R$ 的球且有最大体积的长方体．
💡 答案与解析
[AI解答]
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设所求长方体的长、宽、高分别为 $2x$、$2y$、$2z$（$x>0, y>0, z>0$），则其内接于半径为 $R$ 的球时，球心在长方体中心，因此顶点满足：
$$ x^2 + y^2 + z^2 = R^2. $$
长方体的体积为
$$ V = (2x)(2y)(2z) = 8xyz. $$
问题转化为：在约束条件 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ 下，求 $f(x,y,z) = xyz$ 的最大值。
使用拉格朗日乘数法，设
$$ L(x,y,z,\lambda) = xyz + \lambda (x^2 + y^2 + z^2 - R^2). $$
对各个变量求偏导并令为零：
$$ \frac{\partial L}{\partial x} = yz + 2\lambda x = 0 \quad \Rightarrow \quad yz = -2\lambda x, $$ $$ \frac{\partial L}{\partial y} = xz + 2\lambda y = 0 \quad \Rightarrow \quad xz = -2\lambda y, $$ $$ \frac{\partial L}{\partial z} = xy + 2\lambda z = 0 \quad \Rightarrow \quad xy = -2\lambda z, $$ $$ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 + z^2 - R^2 = 0. $$
由前三个方程，将第一式乘以 $x$，第二式乘以 $y$，第三式乘以 $z$，分别得到：
$$ xyz = -2\lambda x^2,\quad xyz = -2\lambda y^2,\quad xyz = -2\lambda z^2. $$
因此有
$$ -2\lambda x^2 = -2\lambda y^2 = -2\lambda z^2. $$
若 $\lambda = 0$，则 $xyz=0$，体积为零，不是最大，故 $\lambda \neq 0$，从而
$$ x^2 = y^2 = z^2. $$
代入约束条件得
$$ 3x^2 = R^2 \quad \Rightarrow \quad x = y = z = \frac{R}{\sqrt{3}}. $$
此时长方体为正方体，体积为
$$ V_{\max} = 8 \cdot \frac{R}{\sqrt{3}} \cdot \frac{R}{\sqrt{3}} \cdot \frac{R}{\sqrt{3}} = \frac{8R^3}{3\sqrt{3}}. $$
因此，内接于半径为 $R$ 的球且体积最大的长方体是棱长为 $\displaystyle{\frac{2R}{\sqrt{3}}}$ 的正方体。
难度：★★☆☆☆