📝 题目
22．在陏球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 上求一点，使其三个坐标的乘积最大。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求椭球面 $$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $$ 上使得乘积 $f(x,y,z)=xyz$ 最大的点。由于对称性，我们考虑 $x>0,y>0,z>0$ 的情况，最终结果可以加上符号变化。
**解法一：拉格朗日乘数法**
构造拉格朗日函数 $$ L(x,y,z,\lambda)=xyz+\lambda\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) $$
分别对 $x,y,z,\lambda$ 求偏导并令为零：
$$ \displaystyle{\frac{\partial L}{\partial x}=yz-\frac{2\lambda x}{a^{2}}=0} \quad\Rightarrow\quad yz=\frac{2\lambda x}{a^{2}} \tag{1} $$ $$ \displaystyle{\frac{\partial L}{\partial y}=xz-\frac{2\lambda y}{b^{2}}=0} \quad\Rightarrow\quad xz=\frac{2\lambda y}{b^{2}} \tag{2} $$ $$ \displaystyle{\frac{\partial L}{\partial z}=xy-\frac{2\lambda z}{c^{2}}=0} \quad\Rightarrow\quad xy=\frac{2\lambda z}{c^{2}} \tag{3} $$ $$ \displaystyle{\frac{\partial L}{\partial \lambda}=1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0} \tag{4} $$
将(1)乘以$x$，(2)乘以$y$，(3)乘以$z$，得到： $$ xyz=\frac{2\lambda x^{2}}{a^{2}},\quad xyz=\frac{2\lambda y^{2}}{b^{2}},\quad xyz=\frac{2\lambda z^{2}}{c^{2}} $$ 因此有 $$ \frac{x^{2}}{a^{2}}=\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2}} $$ 记这个公共值为 $t$，则由(4)得： $$ t+t+t=1 \quad\Rightarrow\quad 3t=1 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{1}{3} $$ 于是 $$ \frac{x^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{3},\quad \frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{1}{3},\quad \frac{z^{2}}{c^{2}}=\frac{1}{3} $$ 所以 $$ x=\pm\frac{a}{\sqrt{3}},\quad y=\pm\frac{b}{\sqrt{3}},\quad z=\pm\frac{c}{\sqrt{3}} $$
要使乘积 $xyz$ 最大，三个坐标应同号，因此最大值为 $$ \max|xyz|=\frac{abc}{3\sqrt{3}} $$ 取正号时点为 $$ \left(\frac{a}{\sqrt{3}},\frac{b}{\sqrt{3}},\frac{c}{\sqrt{3}}\right) $$ 以及所有坐标同时取负号也得到相同乘积（因为负负得正，三个负数乘积为负，但绝对值相同，若考虑最大值应为正数，故取全正或两负一正？注意：三个负数乘积为负，不是最大；两个负一个正乘积为正，但绝对值与全正相同，实际上全正和两负一正都得到正乘积，但由对称性，全正和两负一正都是解，但全正更直观。实际上由方程解得 $x,y,z$ 可以同号或两负一正，但代入约束条件均成立，且乘积绝对值相同，所以最大值为正数 $\frac{abc}{3\sqrt{3}}$，对应点有四个：全正以及任意两个坐标为负一个为正的组合，但注意符号组合需满足方程，实际上因为平方关系，符号可任意取，只要三个坐标的符号乘积为正即可，即全正或两负一正，共4种组合。）
**解法二：利用AM-GM不等式（更简洁）**
由约束条件，令 $$ u=\frac{x^{2}}{a^{2}},\quad v=\frac{y^{2}}{b^{2}},\quad w=\frac{z^{2}}{c^{2}} $$ 则 $u+v+w=1$，且 $u,v,w>0$。 乘积 $$ |xyz| = abc\,\sqrt{uvw} $$ 由AM-GM： $$ \frac{u+v+w}{3}\ge \sqrt[3]{uvw} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{3}\ge \sqrt[3]{uvw} $$ 所以 $$ uvw \le \frac{1}{27} $$ 于是 $$ |xyz| \le abc\cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{abc}{3\sqrt{3}} $$ 等号成立当且仅当 $u=v=w=\frac13$，即 $$ \frac{x^{2}}{a^{2}}=\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2}}=\frac13 $$ 与拉格朗日乘数法结果一致。
因此所求点为 $$ \left(\frac{a}{\sqrt{3}},\frac{b}{\sqrt{3}},\frac{c}{\sqrt{3}}\right) $$ 以及所有坐标符号使乘积为正的组合，最大乘积为 $\displaystyle{\frac{abc}{3\sqrt{3}}}$。
难度评级：★★☆☆☆ （思路清晰，计算简单，属于条件极值典型题）