📝 题目
15．求下列函数的极值． （1）$f(x, y)=x^{3}-4 x^{2}+2 x y-y^{2}+3$ ； （2）$f(x, y)=3 x y-x^{3}-y^{3}$ ； （3）$f(x, y)=\mathrm{e}^{2 x}\left(x+y^{2}+2 y\right)$ ； （4）$f(x, y)=\left(6 x-x^{2}\right)\left(4 y-y^{2}\right)$ ； （5）$f(x, y)=4(x-y)-x^{2}-y^{2}$ ； （6）$f(x, y)=x y+\frac{8}{x}+\frac{27}{y}$ ； （7）$f(x, y)=\mathrm{e}^{x-y}\left(x^{2}-2 y^{2}\right)$ ； （8）$f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们依次求解各小题的极值。 方法：先求一阶偏导数为零的驻点，再用二阶偏导判别法（$AC-B^2$）判断极值类型。
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### （1）$f(x,y)=x^{3}-4x^{2}+2xy-y^{2}+3$
**步骤：** 求偏导： $$ f_x = 3x^2 - 8x + 2y = 0,\quad f_y = 2x - 2y = 0 $$ 由 $f_y=0$ 得 $y=x$，代入 $f_x=0$： $$ 3x^2 - 8x + 2x = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)=0 $$ 得 $x=0$ 或 $x=2$，对应 $y=0$ 或 $y=2$。 驻点：$(0,0)$，$(2,2)$。
二阶偏导： $$ f_{xx}=6x-8,\quad f_{xy}=2,\quad f_{yy}=-2 $$ 判别式 $\Delta = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$。
- 在 $(0,0)$：$f_{xx}=-8$，$\Delta = (-8)(-2)-4=16-4=12>0$，且 $f_{xx}<0$，极大值。 $f(0,0)=3$。 - 在 $(2,2)$：$f_{xx}=4$，$\Delta = 4\cdot(-2)-4 = -8-4=-12<0$，不是极值。
**结果：** 极大值 $f(0,0)=3$。
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### （2）$f(x,y)=3xy - x^3 - y^3$
**步骤：** $$ f_x = 3y - 3x^2 = 0,\quad f_y = 3x - 3y^2 = 0 $$ 由 $f_x=0$ 得 $y=x^2$，代入 $f_y=0$：$3x-3x^4=0 \Rightarrow 3x(1-x^3)=0$ 得 $x=0$ 或 $x=1$，对应 $y=0$ 或 $y=1$。
二阶偏导： $$ f_{xx}=-6x,\quad f_{xy}=3,\quad f_{yy}=-6y $$
- $(0,0)$：$f_{xx}=0$，$\Delta = 0\cdot0 - 9 = -9<0$，不是极值。 - $(1,1)$：$f_{xx}=-6$，$\Delta = (-6)(-6)-9=36-9=27>0$，且 $f_{xx}<0$，极大值。 $f(1,1)=3-1-1=1$。
**结果：** 极大值 $f(1,1)=1$。
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### （3）$f(x,y)=e^{2x}(x+y^2+2y)$
**步骤：** 求偏导： $$ f_x = e^{2x}\cdot 2(x+y^2+2y) + e^{2x}\cdot 1 = e^{2x}(2x+2y^2+4y+1)=0 $$ 由于 $e^{2x}>0$，得： $$ 2x+2y^2+4y+1=0 \quad (1) $$ $$ f_y = e^{2x}(2y+2)=0 \Rightarrow 2(y+1)=0 \Rightarrow y=-1 $$ 代入(1)：$2x+2(1)-4+1=2x-1=0 \Rightarrow x=\frac12$。
驻点：$(\frac12,-1)$。
二阶偏导： $$ f_{xx}=e^{2x}[4x+4y^2+8y+4],\quad f_{xy}=e^{2x}(4y+4),\quad f_{yy}=2e^{2x} $$ 在 $(\frac12,-1)$： $$ f_{xx}=e(2+4-8+4)=2e,\quad f_{xy}=e(-4+4)=0,\quad f_{yy}=2e $$ $\Delta = (2e)(2e)-0=4e^2>0$，且 $f_{xx}>0$，极小值。 $f(\frac12,-1)=e( \frac12 +1 -2)= e\cdot(-\frac12)= -\frac{e}{2}$。
**结果：** 极小值 $-\dfrac{e}{2}$。
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### （4）$f(x,y)=(6x-x^2)(4y-y^2)$
**步骤：** 令 $g(x)=6x-x^2$，$h(y)=4y-y^2$，则 $f=g(x)h(y)$。 求偏导： $$ f_x = (6-2x)h(y)=0,\quad f_y = g(x)(4-2y)=0 $$ 解得： - $6-2x=0 \Rightarrow x=3$ 或 $h(y)=0 \Rightarrow y=0$ 或 $y=4$ - $4-2y=0 \Rightarrow y=2$ 或 $g(x)=0 \Rightarrow x=0$ 或 $x=6$
组合得驻点：$(3,2)$，$(0,0)$，$(0,4)$，$(6,0)$，$(6,4)$，以及 $(3,0)$，$(3,4)$，$(0,2)$，$(6,2)$。
二阶偏导： $$ f_{xx} = -2h(y),\quad f_{yy} = -2g(x),\quad f_{xy} = (6-2x)(4-2y) $$ 分别判断：
- $(3,2)$：$g(3)=9$，$h(2)=4$，$f_{xx}=-8$，$f_{yy}=-18$，$f_{xy}=0$，$\Delta=144>0$，$f_{xx}<0$，极大值 $f=36$。 - 边界点如 $(0,0)$：$g(0)=0$，$h(0)=0$，$f_{xx}=0$，$f_{yy}=0$，$f_{xy}=24$，$\Delta=-576<0$，不是极值。类似地，$(0,4)$，$(6,0)$，$(6,4)$ 均非极值。 - $(3,0)$：$h(0)=0$，$f_{xx}=0$，$f_{yy}=-18$，$f_{xy}=0$，$\Delta=0$，需进一步分析，但此处 $f=0$，且附近有正有负，不是极值。类似 $(3,4)$，$(0,2)$，$(6,2)$ 均非极值。
**结果：** 极大值 $f(3,2)=36$。
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### （5）$f(x,y)=4(x-y)-x^2-y^2$
**步骤：** $$ f_x = 4-2x=0 \Rightarrow x=2,\quad f_y = -4-2y=0 \Rightarrow y=-2 $$ 驻点 $(2,-2)$。
二阶偏导：$f_{xx}=-2$，$f_{yy}=-2$，$f_{xy}=0$，$\Delta=4>0$，$f_{xx}<0$，极大值。 $f(2,-2)=4(4)-4-4=16-8=8$。
**结果：** 极大值 $8$。
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### （6）$f(x,y)=xy+\dfrac{8}{x}+\dfrac{27}{y}$
**步骤：** 定义域 $x\neq0,y\neq0$。 $$ f_x = y - \frac{8}{x^2}=0,\quad f_y = x - \frac{27}{y^2}=0 $$ 由 $f_x=0$ 得 $y=\dfrac{8}{x^2}$，代入 $f_y=0$： $$ x - \frac{27}{(8/x^2)^2}=x - \frac{27x^4}{64}=0 \Rightarrow x\left(1-\frac{27}{64}x^3\right)=0 $$ $x\neq0$，故 $x^3=\dfrac{64}{27} \Rightarrow x=\dfrac{4}{3}$，则 $y=\dfrac{8}{(16/9)}=\dfrac{9}{2}$。
驻点 $(\frac43,\frac92)$。
二阶偏导： $$ f_{xx}=\frac{16}{x^3},\quad f