📝 题目
35．求函数 $u=\left(\frac{x}{y}\right)^{z}$ 在点 $(1,1,1)$ 处沿向量 $(2,1,-1)$ 的方向的方向导数．
💡 答案与解析
[AI解答]
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首先，将函数写为指数形式以便求偏导： $$ u = \left(\frac{x}{y}\right)^{z} = e^{z \ln\frac{x}{y}} = e^{z(\ln x - \ln y)}. $$
我们需要方向导数： $$ \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{l}}\bigg|_{(1,1,1)} = u_x \cos\alpha + u_y \cos\beta + u_z \cos\gamma, $$ 其中方向向量为 $\boldsymbol{l} = (2,1,-1)$，其模长为 $$ |\boldsymbol{l}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}. $$ 方向余弦为 $$ \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{6}},\quad \cos\beta = \frac{1}{\sqrt{6}},\quad \cos\gamma = \frac{-1}{\sqrt{6}}. $$
现在求三个偏导数在点 $(1,1,1)$ 处的值。
1. 对 $x$ 求偏导： $$ u_x = \frac{\partial}{\partial x} e^{z(\ln x - \ln y)} = e^{z(\ln x - \ln y)} \cdot \frac{z}{x}. $$ 在点 $(1,1,1)$ 处： $$ u_x(1,1,1) = e^{1\cdot(\ln 1 - \ln 1)} \cdot \frac{1}{1} = e^{0} \cdot 1 = 1. $$
2. 对 $y$ 求偏导： $$ u_y = e^{z(\ln x - \ln y)} \cdot \left( -\frac{z}{y} \right). $$ 在点 $(1,1,1)$ 处： $$ u_y(1,1,1) = e^{0} \cdot \left( -\frac{1}{1} \right) = -1. $$
3. 对 $z$ 求偏导： $$ u_z = e^{z(\ln x - \ln y)} \cdot (\ln x - \ln y). $$ 在点 $(1,1,1)$ 处： $$ u_z(1,1,1) = e^{0} \cdot (\ln 1 - \ln 1) = 0. $$
因此，方向导数为： $$ \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{l}} = 1 \cdot \frac{2}{\sqrt{6}} + (-1) \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} + 0 \cdot \frac{-1}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}. $$
最终结果： $$ \boxed{\dfrac{1}{\sqrt{6}}} $$
难度：★☆☆☆☆