📝 题目
36．设 $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，求 $\operatorname{grad} f(1,-1,2)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 首先回忆梯度的定义：对于三元函数 $f(x, y, z)$，梯度是一个向量，其分量为函数对各个自变量的偏导数，即 $$ \operatorname{grad} f = \left( \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y},\ \frac{\partial f}{\partial z} \right). $$
已知 $$ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}. $$ 分别求三个偏导数： $$ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x,\quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y,\quad \frac{\partial f}{\partial z} = 2z. $$ 因此梯度向量为 $$ \operatorname{grad} f = (2x,\ 2y,\ 2z). $$
代入点 $(1, -1, 2)$： $$ \operatorname{grad} f(1, -1, 2) = (2 \cdot 1,\ 2 \cdot (-1),\ 2 \cdot 2) = (2,\ -2,\ 4). $$
最终结果为 $$ \boxed{(2,\ -2,\ 4)}. $$
难度：★☆☆☆☆