📝 题目
22．设函数 $u=x^{2}+y z$ ，而 $z=z(x, y)$ 是由方程 $z=f(x, y+z)$ 确定的可微函数，其中 $f$ 具有连续的偏导数且 $f_{2}^{\prime} \neq 1$ ，求偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial u}{\partial y}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
已知函数 $$ u = x^{2} + y z, $$ 其中 $ z = z(x, y) $ 是由方程 $$ z = f(x, y+z) $$ 所确定的隐函数，且 $ f $ 具有连续偏导数，$ f'_2 \neq 1 $。
我们要求 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial u}{\partial y}$。
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**第一步：对 $ u $ 直接求偏导**
由 $$ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x + y \frac{\partial z}{\partial x}, $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} = z + y \frac{\partial z}{\partial y}. $$
因此关键在于求出 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
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**第二步：对隐函数方程求偏导**
设 $$ F(x, y, z) = z - f(x, y+z) = 0. $$
对 $ x $ 求偏导，注意 $ z $ 是 $ x, y $ 的函数：
$$ \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0. $$
其中 $$ \frac{\partial F}{\partial x} = - f'_1, $$ $$ \frac{\partial F}{\partial z} = 1 - f'_2, $$ 这里 $ f'_1 = \frac{\partial f}{\partial x} $，$ f'_2 = \frac{\partial f}{\partial (y+z)} $（即对第二个变量求偏导）。
于是 $$ - f'_1 + (1 - f'_2) \frac{\partial z}{\partial x} = 0 $$ $$ \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{f'_1}{1 - f'_2}. $$
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**第三步：对 $ y $ 求偏导**
类似地，对 $ y $ 求偏导：
$$ \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0. $$
其中 $$ \frac{\partial F}{\partial y} = - f'_2 \cdot \frac{\partial (y+z)}{\partial y} = - f'_2 \left(1 + \frac{\partial z}{\partial y}\right). $$
代入得 $$ - f'_2 \left(1 + \frac{\partial z}{\partial y}\right) + (1 - f'_2) \frac{\partial z}{\partial y} = 0. $$
展开： $$ - f'_2 - f'_2 \frac{\partial z}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial y} - f'_2 \frac{\partial z}{\partial y} = 0, $$ $$ - f'_2 + \frac{\partial z}{\partial y} (1 - 2 f'_2) = 0. $$
因此 $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{f'_2}{1 - 2 f'_2}. $$
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**第四步：代入 $ u $ 的偏导表达式**
于是 $$ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x + y \cdot \frac{f'_1}{1 - f'_2}, $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} = z + y \cdot \frac{f'_2}{1 - 2 f'_2}. $$
其中 $ z $ 由原方程确定，$ f'_1, f'_2 $ 均在点 $(x, y+z)$ 处取值。
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**最终答案：**
$$ \boxed{\frac{\partial u}{\partial x} = 2x + \frac{y f'_1}{1 - f'_2}} $$ $$ \boxed{\frac{\partial u}{\partial y} = z + \frac{y f'_2}{1 - 2 f'_2}} $$
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难度：★★★☆☆ （涉及隐函数求导与链式法则，需注意复合变量关系，但计算过程较常规）