📝 题目
23．设 $y=f(x, t)$ ，其中 $t=t(x, y)$ 由方程 $F(x, y, t)=0$ 确定，求 $y$ 对 $x$ 的导数，其中函数 $f 、 F$ 均可微．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们已知 $ y = f(x, t) $，且 $ t = t(x, y) $ 由方程 $$ F(x, y, t) = 0 $$ 隐式确定。这里 $ f, F $ 均可微。要求 $ \displaystyle{\frac{dy}{dx}} $。
**步骤1：对第一个方程两边关于 $x$ 求导** 由 $ y = f(x, t) $，且 $ t $ 依赖于 $x$ 和 $y$，因此 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial t} \cdot \frac{dt}{dx}. $$ 但注意，$ t $ 是 $x$ 和 $y$ 的函数，而 $y$ 本身又是 $x$ 的函数，所以 $$ \frac{dt}{dx} = \frac{\partial t}{\partial x} + \frac{\partial t}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx}. $$ 代入得 $$ \frac{dy}{dx} = f_x + f_t \left( t_x + t_y \frac{dy}{dx} \right), $$ 其中 $ f_x = \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}} $，$ f_t = \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial t}} $，$ t_x = \displaystyle{\frac{\partial t}{\partial x}} $，$ t_y = \displaystyle{\frac{\partial t}{\partial y}} $。
整理上式： $$ \frac{dy}{dx} - f_t \, t_y \frac{dy}{dx} = f_x + f_t \, t_x, $$ 即 $$ \frac{dy}{dx} \left( 1 - f_t \, t_y \right) = f_x + f_t \, t_x. \tag{1} $$
**步骤2：从隐函数方程求 $t_x$ 和 $t_y$** 由 $ F(x, y, t) = 0 $，视 $t$ 为 $x, y$ 的函数，对 $x$ 求偏导： $$ F_x + F_t \cdot t_x = 0 \quad\Rightarrow\quad t_x = -\frac{F_x}{F_t}. $$ 对 $y$ 求偏导： $$ F_y + F_t \cdot t_y = 0 \quad\Rightarrow\quad t_y = -\frac{F_y}{F_t}. $$ 这里假设 $F_t \neq 0$。
**步骤3：代入(1)式** 将 $t_x, t_y$ 代入： $$ \frac{dy}{dx} \left( 1 - f_t \cdot \left(-\frac{F_y}{F_t}\right) \right) = f_x + f_t \cdot \left(-\frac{F_x}{F_t}\right). $$ 化简括号内： $$ 1 + \frac{f_t F_y}{F_t}. $$ 右边： $$ f_x - \frac{f_t F_x}{F_t}. $$ 因此 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{ f_x - \displaystyle{\frac{f_t F_x}{F_t}} }{ 1 + \displaystyle{\frac{f_t F_y}{F_t}} }. $$ 通分后得到最终结果： $$ \boxed{\displaystyle{\frac{dy}{dx} = \frac{f_x F_t - f_t F_x}{F_t + f_t F_y}}}. $$
**难度评级**：★★★☆☆ 涉及多元隐函数求导与链式法则的综合运用，需要仔细处理变量依赖关系，但思路较为常规。