📝 题目
27．证明不等式
$$ a b^{2} c^{3} \leqslant 108\left(\frac{a+b+c}{6}\right)^{6}, $$
其中 $a 、 b 、 c$ 是任意的非负实数．
\begin{tabular}{|l|l|} \hline 多元函数极限与连续 & \begin{tabular}{l} 理解多元函数的概念 \\ 了解二元函数的极限与连续性的概念 \\ 了解有界闭区域上连续函数的性质 \end{tabular} \\ \hline 偏导数与全微分 & \begin{tabular}{l} 理解偏导数和全微分的概念 \\ 了解全微分存在的必要条件和充分条件 \\ 了解一阶全微分形式的不变性 \end{tabular} \\ \hline 复合函数、隐函数求导，方向导数 & \begin{tabular}{l} 掌握复合函数一阶偏导数的求法 \\ 会求复合函数的二阶偏导数 \\ 会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数 \\ 《解方向导数与梯度的概念及其计算方法 \end{tabular} \\ \hline 多元函数微分的应用 & \begin{tabular}{l} 了解曲线的切线和法平面，会求其方程 \\ 了解曲面的切平面与法线，会求其方程 \\ 了解多元函数极值和条件极值的概念 \\ 会求二元函数的极值 \\ （了解求条件极值的拉格朗日乘数法 \\ 会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题 \end{tabular} \\ \hline \end{tabular}
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**： 要证明不等式 $$ a b^{2} c^{3} \leqslant 108\left(\frac{a+b+c}{6}\right)^{6}, $$ 其中 $a, b, c \geq 0$。
我们考虑使用**加权均值不等式**（AM-GM 不等式的一般形式）。 对于非负实数 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 和正权重 $w_1, w_2, \dots, w_n$，有 $$ \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n} \geq \left( x_1^{w_1} x_2^{w_2} \cdots x_n^{w_n} \right)^{\frac{1}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}}. $$
将原不等式左边视为 $a \cdot b^2 \cdot c^3$，我们希望对 $a, b, c$ 赋予不同的权重，使得加权平均后出现 $a+b+c$ 的形式。
取权重分别为 $1, 2, 3$，总权重为 $1+2+3 = 6$。 由加权 AM-GM 不等式： $$ \frac{1 \cdot a + 2 \cdot b + 3 \cdot c}{6} \geq \left( a^1 \cdot b^2 \cdot c^3 \right)^{\frac{1}{6}}. $$
即 $$ \frac{a + 2b + 3c}{6} \geq \left( a b^2 c^3 \right)^{\frac{1}{6}}. $$
两边同时取 6 次方： $$ \left( \frac{a + 2b + 3c}{6} \right)^6 \geq a b^2 c^3. $$
现在我们需要将 $a + 2b + 3c$ 与 $a+b+c$ 联系起来。 注意到 $a, b, c$ 是非负实数，但 $2b$ 和 $3c$ 的系数大于 1，因此直接比较 $a+2b+3c$ 与 $a+b+c$ 并不简单。 我们需要调整变量的形式，使得加权平均的系数与目标一致。
**技巧**：令 $$ x = a, \quad y = \frac{b}{2}, \quad z = \frac{c}{3}, $$ 则 $$ a = x, \quad b = 2y, \quad c = 3z. $$ 代入原不等式左边： $$ a b^2 c^3 = x \cdot (2y)^2 \cdot (3z)^3 = x \cdot 4 y^2 \cdot 27 z^3 = 108 \, x y^2 z^3. $$ 右边： $$ 108\left(\frac{a+b+c}{6}\right)^6 = 108\left(\frac{x + 2y + 3z}{6}\right)^6. $$ 于是原不等式等价于： $$ 108 \, x y^2 z^3 \leq 108\left(\frac{x + 2y + 3z}{6}\right)^6, $$ 即 $$ x y^2 z^3 \leq \left(\frac{x + 2y + 3z}{6}\right)^6. $$
现在对 $x, y, z$ 应用加权 AM-GM 不等式，权重分别为 $1, 2, 3$： $$ \frac{1 \cdot x + 2 \cdot y + 3 \cdot z}{6} \geq \left( x^1 y^2 z^3 \right)^{\frac{1}{6}}. $$ 两边取 6 次方即得： $$ \left( \frac{x + 2y + 3z}{6} \right)^6 \geq x y^2 z^3. $$ 这正是我们需要的。因此原不等式成立，等号成立当且仅当 $x = y = z$，即 $a = \frac{b}{2} = \frac{c}{3}$，亦即 $b = 2a, c = 3a$。
**结论**：不等式得证。
难度：★★☆☆☆