📝 题目
3．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t, \\ y=-t^{2} \\ z=t^{3}\end{array}\right.$ 与平面 $x+2 y+z-4=0$ 平行的切线方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 题目要求曲线与给定平面平行的切线方程。曲线参数方程为 $$ \begin{cases} x = t, \\ y = -t^2, \\ z = t^3 \end{cases} $$ 平面方程为 $$ x + 2y + z - 4 = 0 $$ 其法向量为 $\mathbf{n} = (1, 2, 1)$。
曲线切向量为 $$ \mathbf{r}'(t) = (1, -2t, 3t^2) $$ 当切线与平面平行时，切向量与平面的法向量垂直，即 $$ \mathbf{r}'(t) \cdot \mathbf{n} = 0 $$ 代入计算： $$ 1 \cdot 1 + (-2t) \cdot 2 + (3t^2) \cdot 1 = 1 - 4t + 3t^2 = 0 $$ 即 $$ 3t^2 - 4t + 1 = 0 $$ 解得 $$ t = 1 \quad \text{或} \quad t = \frac{1}{3} $$
对应切点： 当 $t=1$ 时，$(x, y, z) = (1, -1, 1)$； 当 $t=\frac{1}{3}$ 时，$(x, y, z) = \left(\frac{1}{3}, -\frac{1}{9}, \frac{1}{27}\right)$。
切线方向向量即 $\mathbf{r}'(t)$： - 当 $t=1$，方向向量为 $(1, -2, 3)$； - 当 $t=\frac{1}{3}$，方向向量为 $\left(1, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$，可化简为 $(3, -2, 1)$。
因此切线方程分别为： $$ \frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-1}{3} $$ 与 $$ \frac{x-\frac{1}{3}}{3} = \frac{y+\frac{1}{9}}{-2} = \frac{z-\frac{1}{27}}{1} $$
难度：★★☆☆☆