📝 题目
4．求下列曲面在指定点处的切平面及法线方程． （1） $\mathrm{e}^{z}-z+x y=3, M(2,1,0)$ ； （2）$z=x^{2}+y^{2}, M(2,1,5)$ ； （3）$z=\arctan \frac{y}{x}, M_{0}\left(1,1, \frac{\pi}{4}\right)$ ； （4）$z=y+\ln \frac{x}{z}, M_{0}(1,1,1)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各小题的详细求解过程。
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### （1） 曲面方程： $$ \mathrm{e}^{z} - z + xy = 3, \quad M(2,1,0) $$ 令 $$ F(x,y,z) = \mathrm{e}^{z} - z + xy - 3 $$ 则 $$ \frac{\partial F}{\partial x} = y,\quad \frac{\partial F}{\partial y} = x,\quad \frac{\partial F}{\partial z} = \mathrm{e}^{z} - 1 $$ 在点 $M(2,1,0)$ 处： $$ F_x = 1,\quad F_y = 2,\quad F_z = \mathrm{e}^{0} - 1 = 0 $$ 因此切平面方程为： $$ 1\cdot (x-2) + 2\cdot (y-1) + 0\cdot (z-0) = 0 $$ 即 $$ x + 2y - 4 = 0 $$ 法线方程为： $$ \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{2},\quad z = 0 $$
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### （2） 曲面方程： $$ z = x^{2} + y^{2}, \quad M(2,1,5) $$ 改写为 $$ F(x,y,z) = x^{2} + y^{2} - z = 0 $$ 则 $$ F_x = 2x,\quad F_y = 2y,\quad F_z = -1 $$ 在点 $M(2,1,5)$： $$ F_x = 4,\quad F_y = 2,\quad F_z = -1 $$ 切平面方程： $$ 4(x-2) + 2(y-1) - (z-5) = 0 $$ 化简得 $$ 4x + 2y - z - 5 = 0 $$ 法线方程： $$ \frac{x-2}{4} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-5}{-1} $$
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### （3） 曲面方程： $$ z = \arctan\frac{y}{x}, \quad M_0\left(1,1,\frac{\pi}{4}\right) $$ 令 $$ F(x,y,z) = \arctan\frac{y}{x} - z = 0 $$ 则 $$ F_x = \frac{-\frac{y}{x^{2}}}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}} = \frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\quad F_y = \frac{\frac{1}{x}}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}} = \frac{x}{x^{2}+y^{2}},\quad F_z = -1 $$ 在点 $M_0(1,1,\frac{\pi}{4})$： $$ F_x = \frac{-1}{2},\quad F_y = \frac{1}{2},\quad F_z = -1 $$ 切平面方程： $$ -\frac{1}{2}(x-1) + \frac{1}{2}(y-1) - \left(z-\frac{\pi}{4}\right) = 0 $$ 化简得 $$ -x + y - 2z + \frac{\pi}{2} = 0 $$ 法线方程： $$ \frac{x-1}{-1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-\frac{\pi}{4}}{-2} $$
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### （4） 曲面方程： $$ z = y + \ln\frac{x}{z}, \quad M_0(1,1,1) $$ 改写为 $$ F(x,y,z) = y + \ln x - \ln z - z = 0 $$ 则 $$ F_x = \frac{1}{x},\quad F_y = 1,\quad F_z = -\frac{1}{z} - 1 $$ 在点 $M_0(1,1,1)$： $$ F_x = 1,\quad F_y = 1,\quad F_z = -2 $$ 切平面方程： $$ 1\cdot (x-1) + 1\cdot (y-1) - 2(z-1) = 0 $$ 化简得 $$ x + y - 2z = 0 $$ 法线方程： $$ \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{-2} $$
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**难度评级**：★★☆☆☆ （属于基础题，主要考查隐函数求偏导与切平面法线公式，计算量小，思路固定。）