📝 题目
5．求抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 的切平面，使该切平面平行于平面 $x-y+2 z=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知抛物面方程为 $$ z = x^{2} + y^{2}. $$ 设曲面上任意一点为 $P_0(x_0, y_0, z_0)$，则 $z_0 = x_0^2 + y_0^2$。
曲面 $z = f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处的切平面方程为 $$ z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0). $$ 计算偏导数： $$ f_x = 2x,\quad f_y = 2y. $$ 所以在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处，切平面方程为 $$ z - (x_0^2 + y_0^2) = 2x_0 (x - x_0) + 2y_0 (y - y_0). $$ 整理得 $$ 2x_0 x + 2y_0 y - z = 2x_0^2 + 2y_0^2 - (x_0^2 + y_0^2) = x_0^2 + y_0^2. $$ 即 $$ 2x_0 x + 2y_0 y - z = x_0^2 + y_0^2. $$
已知该切平面平行于平面 $$ x - y + 2z = 0. $$ 两平面平行，则它们的法向量成比例。平面 $x - y + 2z = 0$ 的法向量为 $$ \vec{n}_1 = (1, -1, 2). $$ 切平面的法向量为 $$ \vec{n}_2 = (2x_0, 2y_0, -1). $$ 于是存在常数 $k$ 使得 $$ (2x_0, 2y_0, -1) = k(1, -1, 2). $$ 由第三分量得 $$ -1 = 2k \quad\Rightarrow\quad k = -\frac{1}{2}. $$ 代入第一、二分量： $$ 2x_0 = k = -\frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad x_0 = -\frac{1}{4}, $$ $$ 2y_0 = -k = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad y_0 = \frac{1}{4}. $$ 于是 $$ z_0 = x_0^2 + y_0^2 = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{8}. $$
因此所求切平面方程为 $$ 2\left(-\frac{1}{4}\right)x + 2\left(\frac{1}{4}\right)y - z = \frac{1}{8}, $$ 即 $$ -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y - z = \frac{1}{8}. $$ 两边乘以 8 化简： $$ -4x + 4y - 8z = 1, $$ 或等价地 $$ 4x - 4y + 8z = -1. $$
最终结果： $$ \boxed{4x - 4y + 8z = -1} $$
难度：★★☆☆☆