📝 题目
6．试求曲面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-3=0$ 上垂直于直线 $\left\{\begin{array}{l}x+y+1=0, \\ z-3=0\end{array}\right.$ 的切平面方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**第一步：理解题意** 给定曲面方程 $$ x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-3=0 $$ 以及直线由两个平面方程联立给出： $$ \begin{cases} x+y+1=0,\\ z-3=0 \end{cases} $$ 该直线方向向量为两平面法向量的叉积。平面 $x+y+1=0$ 的法向量为 $(1,1,0)$，平面 $z-3=0$ 的法向量为 $(0,0,1)$。 直线的方向向量为 $$ \vec{s} = (1,1,0) \times (0,0,1) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot1 - 0\cdot0,\; 0\cdot0 - 1\cdot1,\; 1\cdot0 - 1\cdot0) = (1,-1,0) $$ 因此直线方向为 $(1,-1,0)$。
**第二步：曲面切平面法向量条件** 曲面 $F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-3=0$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面法向量为梯度 $$ \nabla F = (2x_0 - y_0,\; 2y_0 - x_0,\; 2z_0) $$ 要求切平面垂直于直线，即切平面法向量与直线方向平行，因此存在常数 $\lambda$ 使得 $$ (2x_0 - y_0,\; 2y_0 - x_0,\; 2z_0) = \lambda (1,-1,0) $$ 由此得到方程组： $$ \begin{cases} 2x_0 - y_0 = \lambda,\\ 2y_0 - x_0 = -\lambda,\\ 2z_0 = 0 \end{cases} $$ 由第三式得 $z_0 = 0$。
**第三步：求解切点坐标** 将前两式相加： $$ (2x_0 - y_0) + (2y_0 - x_0) = \lambda - \lambda = 0 $$ 即 $$ x_0 + y_0 = 0 \quad\Rightarrow\quad y_0 = -x_0 $$ 代入第一式： $$ 2x_0 - (-x_0) = 3x_0 = \lambda $$ 同时，点 $(x_0, y_0, z_0)$ 在曲面上，代入曲面方程： $$ x_0^2 + (-x_0)^2 + 0^2 - x_0(-x_0) - 3 = x_0^2 + x_0^2 + x_0^2 - 3 = 3x_0^2 - 3 = 0 $$ 解得 $x_0^2 = 1$，即 $x_0 = 1$ 或 $x_0 = -1$。 对应 $y_0 = -1$ 或 $y_0 = 1$。
**第四步：写出切平面方程** 切平面方程公式为 $$ F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0) + F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0) + F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0) = 0 $$ - 当切点为 $(1,-1,0)$，法向量为 $(2\cdot1 - (-1),\; 2(-1)-1,\; 0) = (3,-3,0)$，可简化为 $(1,-1,0)$。 切平面： $$ 1\cdot(x-1) -1\cdot(y+1) + 0\cdot(z-0) = 0 \quad\Rightarrow\quad x - y - 2 = 0 $$ - 当切点为 $(-1,1,0)$，法向量为 $(2(-1)-1,\; 2\cdot1 - (-1),\; 0) = (-3,3,0)$，简化为 $(1,-1,0)$。 切平面： $$ 1\cdot(x+1) -1\cdot(y-1) = 0 \quad\Rightarrow\quad x - y + 2 = 0 $$
**第五步：最终答案** 所求切平面方程为 $$ \boxed{x - y - 2 = 0 \quad\text{或}\quad x - y + 2 = 0} $$
难度：★★☆☆☆