📝 题目
7．求空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x-y-z=1, \\ x^{3}-y^{2}-z^{3}=1\end{array}\right.$ 在点（1，1，－1）处的切线方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 首先，空间曲线由两个曲面方程的交线给出，因此其切线方向向量同时垂直于两个曲面在该点的法向量。 第一步：将曲线视为两个隐式方程定义的曲面交线： $$ F(x,y,z)=x-y-z-1=0,\quad G(x,y,z)=x^{3}-y^{2}-z^{3}-1=0. $$ 第二步：求两个曲面在点 $P(1,1,-1)$ 处的梯度（即法向量）。 对于 $F$： $$ \nabla F = (1,\,-1,\,-1). $$ 在点 $P$ 处： $$ \nabla F(1,1,-1) = (1,\,-1,\,-1). $$ 对于 $G$： $$ \nabla G = (3x^{2},\,-2y,\,-3z^{2}). $$ 在点 $P$ 处： $$ \nabla G(1,1,-1) = (3\cdot 1^{2},\,-2\cdot 1,\,-3\cdot (-1)^{2}) = (3,\,-2,\,-3). $$ 第三步：曲线的切向量 $\mathbf{T}$ 同时垂直于这两个法向量，因此取它们的叉积： $$ \mathbf{T} = \nabla F \times \nabla G = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 3 & -2 & -3 \end{vmatrix}. $$ 计算行列式： $$ \mathbf{i}\cdot((-1)(-3) - (-1)(-2)) - \mathbf{j}\cdot((1)(-3) - (-1)(3)) + \mathbf{k}\cdot((1)(-2) - (-1)(3)). $$ 逐步计算： - $i$ 分量：$(-1)(-3)=3$，减去 $(-1)(-2)=2$，得 $3-2=1$。 - $j$ 分量（注意负号）：先算 $(1)(-3) = -3$，减去 $(-1)(3) = -3$，得 $-3 - (-3) = 0$，前面有负号，所以 $j$ 分量为 $-0 = 0$。 - $k$ 分量：$(1)(-2) = -2$，减去 $(-1)(3) = -3$，得 $-2 - (-3) = 1$。 因此： $$ \mathbf{T} = (1,\,0,\,1). $$ 第四步：切线方程（点向式）为： $$ \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{0} = \frac{z+1}{1}. $$ 注意分母为0表示该方向分量不变，即 $y=1$ 恒定。因此切线方程可写为： $$ \begin{cases} x-1 = z+1, \\ y = 1. \end{cases} $$ 或参数式： $$ x = 1 + t,\quad y = 1,\quad z = -1 + t. $$
难度评级：★★☆☆☆ （涉及隐函数求梯度、叉积求切向量，步骤清晰但计算简单，属于基础空间解析几何题。）