📝 题目
11．设函数 $f(u, v)$ 具有不同时为零的一阶连续偏导数． （1）写出曲面 $\Sigma: f(a x-b z, a y-c z)=0$（其中 $a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq 0$ ）上任一点处的切平面方程； （2）证明该曲面上任一点的法线向量都与某确定的向量正交（垂直）并写出该向量。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] （1）设曲面方程为 $$ F(x,y,z)=f(ax-bz, ay-cz)=0, $$ 其中 $f(u,v)$ 具有不同时为零的一阶连续偏导数。记 $$ u = ax - bz,\quad v = ay - cz, $$ 则 $$ F_x = f_u \cdot a + f_v \cdot 0 = a f_u, $$ $$ F_y = f_u \cdot 0 + f_v \cdot a = a f_v, $$ $$ F_z = f_u \cdot (-b) + f_v \cdot (-c) = -b f_u - c f_v. $$ 于是曲面上任一点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的法向量为 $$ \mathbf{n} = (a f_u,\; a f_v,\; -b f_u - c f_v), $$ 其中 $f_u, f_v$ 在该点取值。因此切平面方程为 $$ a f_u (x-x_0) + a f_v (y-y_0) + (-b f_u - c f_v)(z-z_0)=0. $$
（2）考虑向量 $\mathbf{m} = (b, c, a)$，计算法向量 $\mathbf{n}$ 与 $\mathbf{m}$ 的点积： $$ \mathbf{n} \cdot \mathbf{m} = a f_u \cdot b + a f_v \cdot c + (-b f_u - c f_v) \cdot a = ab f_u + ac f_v - ab f_u - ac f_v = 0. $$ 因此曲面上任一点的法向量都与固定向量 $\mathbf{m} = (b, c, a)$ 正交。
难度：★★☆☆☆