📝 题目
12．证明曲面 $z=x f\left(\frac{y}{x}\right)$ 上任一点处的切平面都过原点，其中 $z$ 具有连续导数。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 要证明曲面 $ z = x f\left( \frac{y}{x} \right) $ 上任一点处的切平面都过原点，其中 $ f $ 具有连续导数。
**第一步：构造曲面方程并求偏导数** 设 $$ F(x, y, z) = z - x f\left( \frac{y}{x} \right) = 0 $$ 则曲面上任意点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处的法向量为 $$ \nabla F = \left( F_x, F_y, F_z \right) $$ 计算偏导数：
1. 对 $x$ 求偏导： $$ F_x = - f\left( \frac{y}{x} \right) - x \cdot f'\left( \frac{y}{x} \right) \cdot \left( -\frac{y}{x^2} \right) = - f\left( \frac{y}{x} \right) + \frac{y}{x} f'\left( \frac{y}{x} \right) $$
2. 对 $y$ 求偏导： $$ F_y = - x \cdot f'\left( \frac{y}{x} \right) \cdot \frac{1}{x} = - f'\left( \frac{y}{x} \right) $$
3. 对 $z$ 求偏导： $$ F_z = 1 $$
**第二步：写出切平面方程** 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处，切平面方程为 $$ F_x(x_0, y_0, z_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + F_z(x_0, y_0, z_0)(z - z_0) = 0 $$ 代入得 $$ \left[ - f\left( \frac{y_0}{x_0} \right) + \frac{y_0}{x_0} f'\left( \frac{y_0}{x_0} \right) \right] (x - x_0) - f'\left( \frac{y_0}{x_0} \right) (y - y_0) + (z - z_0) = 0 $$
**第三步：验证原点 $(0,0,0)$ 满足方程** 令 $x = 0, y = 0, z = 0$，代入左边得： $$ \left[ - f\left( \frac{y_0}{x_0} \right) + \frac{y_0}{x_0} f'\left( \frac{y_0}{x_0} \right) \right] (0 - x_0) - f'\left( \frac{y_0}{x_0} \right) (0 - y_0) + (0 - z_0) $$ 计算每一项：
第一项： $$ \left[ - f\left( \frac{y_0}{x_0} \right) + \frac{y_0}{x_0} f'\left( \frac{y_0}{x_0} \right) \right] (-x_0) = x_0 f\left( \frac{y_0}{x_0} \right) - y_0 f'\left( \frac{y_0}{x_0} \right) $$
第二项： $$ - f'\left( \frac{y_0}{x_0} \right) ( - y_0) = y_0 f'\left( \frac{y_0}{x_0} \right) $$
第三项： $$ - z_0 $$
三部分相加： $$ x_0 f\left( \frac{y_0}{x_0} \right) - y_0 f'\left( \frac{y_0}{x_0} \right) + y_0 f'\left( \frac{y_0}{x_0} \right) - z_0 = x_0 f\left( \frac{y_0}{x_0} \right) - z_0 $$ 但由曲面方程，在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 上有 $$ z_0 = x_0 f\left( \frac{y_0}{x_0} \right) $$ 因此上式等于 $0$。
所以原点满足切平面方程，即原点在任意切平面上。
**结论**：曲面 $ z = x f\left( \frac{y}{x} \right) $ 上任意一点处的切平面都经过原点。
难度：★★☆☆☆