📝 题目
13．证明曲面 $x y z=a^{3}(a\gt 0)$ 上任一点处的切平面与坐标面围成的四面体的体积为定值．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 设曲面方程为 $$ F(x,y,z)=xyz-a^{3}=0,\quad a>0. $$ 曲面上任一点为 $P(x_0,y_0,z_0)$，满足 $$ x_0y_0z_0 = a^{3}. $$ 计算梯度： $$ \nabla F = (yz,\;xz,\;xy), $$ 所以在点 $P$ 处的法向量为 $$ (y_0z_0,\;x_0z_0,\;x_0y_0). $$ 因此过 $P$ 的切平面方程为 $$ y_0z_0(x-x_0) + x_0z_0(y-y_0) + x_0y_0(z-z_0) = 0. $$ 整理得 $$ y_0z_0 x + x_0z_0 y + x_0y_0 z = 3x_0y_0z_0 = 3a^{3}. $$ 现在求此平面与三个坐标轴的交点。
- 令 $y=0,z=0$，得 $$ y_0z_0 x = 3a^{3} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{3a^{3}}{y_0z_0}. $$ 由 $x_0y_0z_0=a^{3}$ 得 $y_0z_0 = \dfrac{a^{3}}{x_0}$，所以 $$ x = \frac{3a^{3}}{a^{3}/x_0} = 3x_0. $$ 即与 $x$ 轴交点为 $(3x_0,0,0)$。
- 同理，令 $x=0,z=0$，得 $$ y = 3y_0, $$ 即与 $y$ 轴交点为 $(0,3y_0,0)$。
- 令 $x=0,y=0$，得 $$ z = 3z_0, $$ 即与 $z$ 轴交点为 $(0,0,3z_0)$。
因此切平面与三个坐标面围成的四面体顶点为 $(3x_0,0,0)$、$(0,3y_0,0)$、$(0,0,3z_0)$ 及原点 $(0,0,0)$。 该四面体体积为 $$ V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 3x_0 \cdot 3y_0\right) \cdot 3z_0 = \frac{1}{6} \cdot 27\,x_0y_0z_0 = \frac{27}{6} a^{3} = \frac{9}{2}a^{3}. $$ 由于 $a$ 是常数，故体积与点 $P$ 的选取无关，恒为定值 $\displaystyle\frac{9}{2}a^{3}$。
难度：★★☆☆☆