📝 题目
6．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=\frac{x^{2}+y^{2}}{4}, \\ y=4\end{array}\right.$ 在点 $(2,4,5)$ 处的切线关于 $x$ 轴的斜率．
💡 答案与解析
[AI解答]
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首先，曲线由方程组给出： $$ \begin{cases} z = \dfrac{x^{2} + y^{2}}{4}, \$$1em] y = 4. \end{cases} $$ 将 $y = 4$ 代入第一个方程，得到： $$ z = \frac{x^{2} + 16}{4} = \frac{x^{2}}{4} + 4. $$ 因此，曲线实际上是平面 $y = 4$ 上的一条抛物线，参数形式可以写作： $$ x = x,\quad y = 4,\quad z = \frac{x^{2}}{4} + 4. $$
在点 $(2,4,5)$ 处，对应的参数 $x = 2$。 对 $z$ 关于 $x$ 求导： $$ \frac{dz}{dx} = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^{2}}{4} + 4 \right) = \frac{x}{2}. $$ 在 $x = 2$ 处： $$ \left. \frac{dz}{dx} \right|_{x=2} = \frac{2}{2} = 1. $$
由于曲线在平面 $y=4$ 内，切线方向向量为 $(1, 0, \frac{dz}{dx})$，而切线关于 $x$ 轴的斜率，即切线与 $x$ 轴正向夹角的正切值，在三维中通常指切线在 $xOz$ 平面投影的斜率，即 $\frac{dz}{dx}$。
因此，所求斜率为： $$ \boxed{1} $$
难度：★☆☆☆☆