📝 题目
7．求下列三元函数的偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial u}{\partial y} 、 \frac{\partial u}{\partial z}$ ． （1）$u=x^{y z}$ ； （2）$u=x^{\sin \frac{y}{z}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 已知 $ u = x^{yz} $，这是幂指函数形式，可先取自然对数再求偏导，或直接利用指数函数表示： $$ u = e^{\displaystyle yz \ln x} $$
- 对 $ x $ 求偏导（将 $ y,z $ 视为常数）： $$ \frac{\partial u}{\partial x} = e^{\displaystyle yz \ln x} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(yz \ln x) = x^{yz} \cdot \frac{yz}{x} = yz \, x^{yz-1} $$
- 对 $ y $ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial y} = e^{\displaystyle yz \ln x} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(yz \ln x) = x^{yz} \cdot (z \ln x) = z \, x^{yz} \ln x $$
- 对 $ z $ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial z} = e^{\displaystyle yz \ln x} \cdot \frac{\partial}{\partial z}(yz \ln x) = x^{yz} \cdot (y \ln x) = y \, x^{yz} \ln x $$
因此： $$ \boxed{\frac{\partial u}{\partial x}=yz\,x^{yz-1},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=z\,x^{yz}\ln x,\quad \frac{\partial u}{\partial z}=y\,x^{yz}\ln x} $$
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**（2）** 已知 $ u = x^{\displaystyle \sin\frac{y}{z}} $，同样化为指数形式： $$ u = e^{\displaystyle \sin\frac{y}{z} \cdot \ln x} $$
- 对 $ x $ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial x} = e^{\displaystyle \sin\frac{y}{z} \ln x} \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left( \sin\frac{y}{z} \ln x \right) = x^{\sin\frac{y}{z}} \cdot \frac{\sin\frac{y}{z}}{x} = \frac{\sin\frac{y}{z}}{x} \, x^{\sin\frac{y}{z}} $$
- 对 $ y $ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial y} = e^{\displaystyle \sin\frac{y}{z} \ln x} \cdot \frac{\partial}{\partial y}\left( \sin\frac{y}{z} \ln x \right) = x^{\sin\frac{y}{z}} \cdot \left( \cos\frac{y}{z} \cdot \frac{1}{z} \cdot \ln x \right) = \frac{\ln x}{z} \cos\frac{y}{z} \, x^{\sin\frac{y}{z}} $$
- 对 $ z $ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial z} = e^{\displaystyle \sin\frac{y}{z} \ln x} \cdot \frac{\partial}{\partial z}\left( \sin\frac{y}{z} \ln x \right) = x^{\sin\frac{y}{z}} \cdot \left( \cos\frac{y}{z} \cdot \left(-\frac{y}{z^2}\right) \cdot \ln x \right) = -\frac{y \ln x}{z^2} \cos\frac{y}{z} \, x^{\sin\frac{y}{z}} $$
因此： $$ \boxed{\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\sin\frac{y}{z}}{x} x^{\sin\frac{y}{z}},\quad \frac{\partial u}{\partial y}= \frac{\ln x}{z} \cos\frac{y}{z} \, x^{\sin\frac{y}{z}},\quad \frac{\partial u}{\partial z}= -\frac{y\ln x}{z^2} \cos\frac{y}{z} \, x^{\sin\frac{y}{z}}} $$
难度：★★☆☆☆ （主要是幂指函数求偏导的基本方法，注意链式法则即可）