📝 题目
9．设 $w=f(x+y+z, x y z)$ ，其中函数 $f$ 有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial w}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial^{2} w}{\partial x \partial z}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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首先，设中间变量： $$ u = x + y + z, \quad v = xyz $$ 则 $ w = f(u, v) $，其中 $ f $ 具有二阶连续偏导数。
**第一步：求一阶偏导数 $\frac{\partial w}{\partial x}$**
由链式法则： $$ \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} $$ 计算： $$ \frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = yz $$ 因此： $$ \frac{\partial w}{\partial x} = f_u \cdot 1 + f_v \cdot yz $$ 即： $$ \boxed{\frac{\partial w}{\partial x} = f_u + yz \, f_v} $$
**第二步：求混合偏导数 $\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial z}$**
先对 $z$ 求偏导： $$ \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( f_u + yz \, f_v \right) $$ 注意 $f_u$ 和 $f_v$ 仍然是 $u = x+y+z$ 和 $v = xyz$ 的函数，因此求导时需继续使用链式法则。
先对第一项 $f_u$ 关于 $z$ 求导： $$ \frac{\partial f_u}{\partial z} = f_{uu} \cdot \frac{\partial u}{\partial z} + f_{uv} \cdot \frac{\partial v}{\partial z} $$ 其中： $$ \frac{\partial u}{\partial z} = 1, \quad \frac{\partial v}{\partial z} = xy $$ 所以： $$ \frac{\partial f_u}{\partial z} = f_{uu} \cdot 1 + f_{uv} \cdot xy $$
再对第二项 $yz \, f_v$ 关于 $z$ 求导（乘积法则）： $$ \frac{\partial}{\partial z} (yz \, f_v) = y \cdot f_v + yz \cdot \frac{\partial f_v}{\partial z} $$ 而： $$ \frac{\partial f_v}{\partial z} = f_{vu} \cdot \frac{\partial u}{\partial z} + f_{vv} \cdot \frac{\partial v}{\partial z} = f_{vu} \cdot 1 + f_{vv} \cdot xy $$ 由于二阶连续偏导，有 $f_{uv} = f_{vu}$。
因此第二项为： $$ y f_v + yz (f_{vu} + xy f_{vv}) = y f_v + yz f_{vu} + x y^2 z f_{vv} $$
**第三步：合并结果**
将两部分相加： $$ \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial z} = \left( f_{uu} + xy f_{uv} \right) + \left( y f_v + yz f_{uv} + x y^2 z f_{vv} \right) $$ 合并同类项： $$ = f_{uu} + (xy + yz) f_{uv} + y f_v + x y^2 z f_{vv} $$ 即： $$ \boxed{\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial z} = f_{uu} + y(x+z) f_{uv} + y f_v + x y^2 z f_{vv}} $$
难度：★★★☆☆