📝 题目
11．求下列函数的全微分． （1）$z=\frac{y}{x}$ ； （2）$z=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ； （3）$u=\mathrm{e}^{z+\frac{x}{y}}$ ； （4）$u=x^{2} y z+\cos 2 y$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 求全微分即求函数的所有一阶偏导数，然后组合成微分形式。下面逐题求解。
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### （1）$ z = \frac{y}{x} $
先求偏导数： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left( x^{-1} \right) = y \cdot (-x^{-2}) = -\frac{y}{x^{2}} $$ $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x} $$ 因此全微分为： $$ \mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{d}y = -\frac{y}{x^{2}} \mathrm{d}x + \frac{1}{x} \mathrm{d}y $$
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### （2）$ z = \ln(x^{2} + y^{2}) $
求偏导： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}+y^{2}} \cdot 2x = \frac{2x}{x^{2}+y^{2}} $$ $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{x^{2}+y^{2}} $$ 全微分为： $$ \mathrm{d}z = \frac{2x}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{d}x + \frac{2y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{d}y $$
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### （3）$ u = e^{z + \frac{x}{y}} $
这是三元函数 $ u(x,y,z) $，分别对 $x, y, z$ 求偏导：
对 $x$： $$ \frac{\partial u}{\partial x} = e^{z + \frac{x}{y}} \cdot \frac{1}{y} $$ 对 $y$： $$ \frac{\partial u}{\partial y} = e^{z + \frac{x}{y}} \cdot \left( -\frac{x}{y^{2}} \right) $$ 对 $z$： $$ \frac{\partial u}{\partial z} = e^{z + \frac{x}{y}} \cdot 1 $$ 因此全微分为： $$ \mathrm{d}u = e^{z + \frac{x}{y}} \left( \frac{1}{y} \mathrm{d}x - \frac{x}{y^{2}} \mathrm{d}y + \mathrm{d}z \right) $$
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### （4）$ u = x^{2} y z + \cos 2y $
三元函数，分别求偏导：
对 $x$： $$ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x y z $$ 对 $y$： $$ \frac{\partial u}{\partial y} = x^{2} z - 2\sin 2y $$ 对 $z$： $$ \frac{\partial u}{\partial z} = x^{2} y $$ 全微分为： $$ \mathrm{d}u = 2xyz \, \mathrm{d}x + (x^{2}z - 2\sin 2y) \, \mathrm{d}y + x^{2}y \, \mathrm{d}z $$
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**难度评级**：★☆☆☆☆ 均为直接求偏导代入公式，无复杂复合或隐函数，属于基础计算题。