📝 题目
12．设 $z=\ln \left(1+\frac{x}{y}\right)$ ，求 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1,1)}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知函数 $$ z = \ln\left(1 + \frac{x}{y}\right) $$ 先将其改写为 $$ z = \ln\left(\frac{x + y}{y}\right) = \ln(x + y) - \ln y $$ 这样便于求偏导。
对 $x$ 求偏导： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x + y} $$ 对 $y$ 求偏导： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x + y} - \frac{1}{y} $$
在点 $(1,1)$ 处计算偏导数值： $$ \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,1)} = \frac{1}{1+1} = \frac12 $$ $$ \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,1)} = \frac{1}{1+1} - \frac{1}{1} = \frac12 - 1 = -\frac12 $$
因此全微分为 $$ \left.\mathrm{d}z\right|_{(1,1)} = \frac12 \,\mathrm{d}x - \frac12 \,\mathrm{d}y $$ 即 $$ \boxed{\left.\mathrm{d}z\right|_{(1,1)} = \frac12 (\mathrm{d}x - \mathrm{d}y)} $$
难度：★☆☆☆☆