📝 题目
1．下列函数确定了 $z$ 是 $t$ 的函数，求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ ． （1）$z=\mathrm{e}^{u v}, u=\sin t, v=\cos t$ ； （2）设 $z=\arcsin \left(x-y^{2}\right), x=3 t, y=4 t^{2}$ ； （3）$z=\ln (x+y)+\arctan t, x=2 t, y=2 t^{3}$ ； （4）$z=\tan \left(3 t+2 x^{2}-y^{2}\right), x=\frac{1}{t}, y=\sqrt{t}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各小题的详细解答过程。
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### （1） 已知 $z = \mathrm{e}^{uv}$，$u = \sin t$，$v = \cos t$。 则 $$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} $$ 计算偏导数： $$ \frac{\partial z}{\partial u} = v \mathrm{e}^{uv}, \quad \frac{\partial z}{\partial v} = u \mathrm{e}^{uv} $$ 又 $$ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = \cos t, \quad \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -\sin t $$ 代入得 $$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = v \mathrm{e}^{uv} \cos t + u \mathrm{e}^{uv} (-\sin t) = \mathrm{e}^{uv} (v \cos t - u \sin t) $$ 将 $u=\sin t$，$v=\cos t$ 代入： $$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \mathrm{e}^{\sin t \cos t} (\cos^2 t - \sin^2 t) = \mathrm{e}^{\frac{1}{2}\sin 2t} \cos 2t $$
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### （2） 已知 $z = \arcsin(x - y^2)$，$x = 3t$，$y = 4t^2$。 则 $$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} $$ 计算偏导数： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{1 - (x - y^2)^2}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-2y}{\sqrt{1 - (x - y^2)^2}} $$ 又 $$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 3, \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 8t $$ 代入得 $$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{\sqrt{1 - (x - y^2)^2}} \cdot 3 + \frac{-2y}{\sqrt{1 - (x - y^2)^2}} \cdot 8t $$ 将 $x=3t$，$y=4t^2$ 代入： $$ x - y^2 = 3t - 16t^4 $$ 所以 $$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{3 - 2(4t^2)(8t)}{\sqrt{1 - (3t - 16t^4)^2}} = \frac{3 - 64t^3}{\sqrt{1 - (3t - 16t^4)^2}} $$
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### （3） 已知 $z = \ln(x+y) + \arctan t$，$x = 2t$，$y = 2t^3$。 则 $$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial z}{\partial t} $$ 注意这里 $t$ 也直接出现在 $z$ 中，所以有直接偏导项。 计算： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x+y}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x+y}, \quad \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{1}{1+t^2} $$ 又 $$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 2, \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 6t^2 $$ 代入得 $$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{x+y} \cdot 2 + \frac{1}{x+y} \cdot 6t^2 + \frac{1}{1+t^2} $$ 将 $x=2t$，$y=2t^3$ 代入： $$ x+y = 2t + 2t^3 = 2t(1+t^2) $$ 所以 $$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{2 + 6t^2}{2t(1+t^2)} + \frac{1}{1+t^2} = \frac{1 + 3t^2}{t(1+t^2)} + \frac{1}{1+t^2} $$ 通分： $$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{1 + 3t^2 + t}{t(1+t^2)} $$
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### （4） 已知 $z = \tan(3t + 2x^2 - y^2)$，$x = \frac{1}{t}$，$y = \sqrt{t}$。 则 $$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \sec^2(3t + 2x^2 - y^2) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(3t + 2x^2 - y^2) $$ 计算内部导数： $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(3t) = 3 $$ $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(2x^2) = 4x \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}, \quad x = t^{-1} \Rightarrow \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -t^{-2} $$ 所以 $$ 4x \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 4 \cdot \frac{1}{t} \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right) = -\frac{4}{t^3} $$ 又 $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(-y^2) = -2y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}, \quad y = t^{1/2} \Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2\sqrt{t}} $$ 所以 $$ -2y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = -2 \cdot \sqrt{t} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} = -1 $$ 因此 $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(3t + 2x^2 - y^2) = 3 - \frac{4}{t^3} - 1 = 2 - \frac{4}{t^3} $$ 于是 $$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \sec^2\left(3t + \frac{2}{t^2} - t\right) \cdot \left(2 - \frac{4}{t^3}\right) $$
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**难度评级**：★★☆☆☆ 涉及多元复合函数求导，但均为直接代入公式，计算量不大。