📝 题目
25．求函数 $f(x, y)=3 x^{2}+3 y^{2}-x^{3}$ 在区域 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 16$ 上的最小值．
💡 答案与解析
[AI解答]
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首先，函数为 $$ f(x, y) = 3x^2 + 3y^2 - x^3 $$ 区域为闭圆盘 $D: x^2 + y^2 \le 16$，这是一个有界闭区域，连续函数必存在最值，最小值可能在内部驻点或边界上取得。
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**第一步：求内部驻点**
计算偏导数： $$ \frac{\partial f}{\partial x} = 6x - 3x^2 = 3x(2 - x) $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y} = 6y $$
令它们为零： $$ 6y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 0 $$ $$ 3x(2 - x) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0 \quad\text{或}\quad x = 2 $$
得到两个驻点： $$ (0,0),\quad (2,0) $$ 它们都在圆盘内部（因为 $2^2 + 0^2 = 4 < 16$）。
计算函数值： $$ f(0,0) = 0 $$ $$ f(2,0) = 3\cdot 4 + 0 - 8 = 12 - 8 = 4 $$
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**第二步：边界上的极值（拉格朗日乘数法）**
边界条件： $$ g(x,y) = x^2 + y^2 - 16 = 0 $$
构造拉格朗日函数： $$ L(x,y,\lambda) = 3x^2 + 3y^2 - x^3 + \lambda (x^2 + y^2 - 16) $$
求偏导： $$ \frac{\partial L}{\partial x} = 6x - 3x^2 + 2\lambda x = 0 $$ $$ \frac{\partial L}{\partial y} = 6y + 2\lambda y = 0 $$ $$ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 - 16 = 0 $$
由第二个方程： $$ 2y(3 + \lambda) = 0 $$ 所以要么 $y=0$，要么 $\lambda = -3$。
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**情况1：$y = 0$** 代入边界条件： $$ x^2 = 16 \quad\Rightarrow\quad x = \pm 4 $$ 函数值： $$ f(4,0) = 3\cdot 16 + 0 - 64 = 48 - 64 = -16 $$ $$ f(-4,0) = 3\cdot 16 + 0 - (-64) = 48 + 64 = 112 $$
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**情况2：$\lambda = -3$** 代入第一个方程： $$ 6x - 3x^2 + 2(-3)x = 6x - 3x^2 - 6x = -3x^2 = 0 $$ 所以 $x = 0$。 代入边界条件： $$ 0 + y^2 = 16 \quad\Rightarrow\quad y = \pm 4 $$ 函数值： $$ f(0,4) = 0 + 3\cdot 16 - 0 = 48 $$ $$ f(0,-4) = 48 $$
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**第三步：比较所有候选值**
候选点及函数值： $$ (0,0): 0,\quad (2,0): 4,\quad (4,0): -16,\quad (-4,0): 112,\quad (0,\pm4): 48 $$
最小值为 $-16$，在点 $(4,0)$ 处取得。
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**最终答案：** $$ \boxed{-16} $$
难度：★★☆☆☆ （主要考察多元函数闭区域最值的基本方法，计算量不大，但需注意边界处理）