📝 题目
4．证明下列极限不存在． （1） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin (x-y)}{x+y}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}-x}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）证明** $\displaystyle{\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x-y)}{x+y}}$ 不存在。
考虑沿不同路径趋近于 $(0,0)$。
**路径一：** 取 $y = 0$，则 $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x-0)}{x+0} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1. $$
**路径二：** 取 $x = 0$，则 $$ \lim_{y\to 0} \frac{\sin(0-y)}{0+y} = \lim_{y\to 0} \frac{\sin(-y)}{y} = \lim_{y\to 0} \frac{-\sin y}{y} = -1. $$
由于沿不同路径得到不同的极限值（$1$ 和 $-1$），因此原极限不存在。
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**（2）证明** $\displaystyle{\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}-x}}$ 不存在。
考虑沿不同路径趋近于 $(0,0)$。
**路径一：** 取 $y = 0$，则 $$ \lim_{x\to 0} \frac{x^{2}}{x^{2} + 0 - x} = \lim_{x\to 0} \frac{x^{2}}{x(x-1)} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{x-1} = 0. $$
**路径二：** 取 $y = x$，则 $$ \lim_{x\to 0} \frac{x^{2}}{x^{2} + x^{2} - x} = \lim_{x\to 0} \frac{x^{2}}{2x^{2} - x} = \lim_{x\to 0} \frac{x^{2}}{x(2x - 1)} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{2x - 1} = 0. $$
路径一和路径二都得到 $0$，但还不能断定极限存在，需尝试其他路径。
**路径三：** 取 $y^2 = x - x^2$，即沿曲线 $y = \sqrt{x - x^{2}}$ 当 $x>0$ 且 $x\to 0^{+}$ 时，此时分母为 $$ x^{2} + (x - x^{2}) - x = 0, $$ 分子为 $x^{2} > 0$，因此函数值趋于无穷大，即极限不存在（或趋于无穷，不属于有限极限）。
更简单的做法：取 $x = 0$ 时，表达式为 $$ \frac{0}{0 + y^{2} - 0} = 0, $$ 但取 $x = t,\ y = \sqrt{t - t^{2}}$（当 $t>0$ 充分小），分母为 $t^{2} + (t - t^{2}) - t = 0$，函数值无定义或趋于无穷，因此极限不存在。
综上，原极限不存在。
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**难度评级：** ★★☆☆☆