📝 题目
5．讨论下列函数在点 $(0,0)$ 处的连续性． （1）$f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 ;\end{cases}$ （2）$f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{cases}$
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们分别讨论两个函数在点 $(0,0)$ 处的连续性。
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### （1） $$ f(x, y)= \begin{cases} \displaystyle{\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 . \end{cases} $$
要判断在 $(0,0)$ 处是否连续，需考察 $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} $$ 是否等于 $f(0,0)=0$。
利用极坐标变换： 令 $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$，则 $$ \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{r^{3}(\cos^{3}\theta - \sin^{3}\theta)}{r^{2}} = r(\cos^{3}\theta - \sin^{3}\theta). $$
由于 $|\cos^{3}\theta - \sin^{3}\theta| \leq 2$，故 $$ \left| r(\cos^{3}\theta - \sin^{3}\theta) \right| \leq 2r \to 0 \quad (r\to 0). $$
因此极限为 $0$，等于函数值，故在 $(0,0)$ 处连续。
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### （2） $$ f(x, y)= \begin{cases} \displaystyle{\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 . \end{cases} $$
考察极限 $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}. $$
考虑沿不同路径：
- 沿 $y = 0$： $$ \frac{x \cdot 0}{x^{2}+0} = 0 \to 0. $$
- 沿 $x = y^{2}$： $$ \frac{y^{2} \cdot y^{2}}{(y^{2})^{2} + y^{4}} = \frac{y^{4}}{y^{4}+y^{4}} = \frac{1}{2} \to \frac{1}{2}. $$
两个路径极限不同，故极限不存在。因此函数在 $(0,0)$ 处不连续。
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**最终答案：** （1）在 $(0,0)$ 处连续； （2）在 $(0,0)$ 处不连续。
难度：★★☆☆☆