📝 题目
3．求下列函数的极限． （1） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}-1}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{2 x-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\mathrm{e}^{x y} \sqrt{1+x+y}}{1+\cos ^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\ln \left(x+\mathrm{e}^{y}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} y^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x^{3}+y^{3}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ；
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下为各小题的极限求解过程。
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### （1） $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}-1} $$
**解**： 令 $t = x^2 + y^2$，则当 $(x,y)\to(0,0)$ 时 $t\to 0^+$。原极限化为 $$ \lim_{t\to 0^+} \frac{t}{\sqrt{1+t}-1} $$ 有理化分母： $$ \frac{t}{\sqrt{1+t}-1} = \frac{t(\sqrt{1+t}+1)}{(1+t)-1} = \frac{t(\sqrt{1+t}+1)}{t} = \sqrt{1+t}+1 $$ 因此极限为 $$ \lim_{t\to 0^+} (\sqrt{1+t}+1) = 2 $$ 故 $$ \boxed{2} $$
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### （2） $$ \lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{2x - y^{2}}{x^{2}+y^{2}} $$
**解**： 直接代入 $(x,y)=(1,1)$： 分子：$2\cdot 1 - 1^2 = 1$，分母：$1^2+1^2 = 2$，所以极限为 $$ \frac{1}{2} $$ 故 $$ \boxed{\frac12} $$
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### （3） $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\mathrm{e}^{xy} \sqrt{1+x+y}}{1+\cos^{2}(x^{2}+y^{2})} $$
**解**： 直接代入 $(0,0)$： 分子：$\mathrm{e}^{0} \cdot \sqrt{1+0+0} = 1$，分母：$1+\cos^{2}(0) = 1+1 = 2$，因此极限为 $$ \frac12 $$ 故 $$ \boxed{\frac12} $$
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### （4） $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\ln(x+\mathrm{e}^{y})}{x^{2}+y^{2}} $$
**解**： 考虑沿不同路径趋近。取 $y=0$，则 $$ \lim_{x\to 0} \frac{\ln(x+1)}{x^{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{x - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})}{x^{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} - \frac12 + o(1) $$ 该极限不存在（趋于无穷）。因此原极限不存在。 故 $$ \boxed{\text{不存在}} $$
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### （5） $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} y^{2} \ln(x^{2}+y^{2}) $$
**解**： 令 $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$，则 $r\to 0^+$， $$ y^{2} \ln(x^{2}+y^{2}) = r^{2}\sin^{2}\theta \cdot \ln(r^{2}) = 2 r^{2} \ln r \cdot \sin^{2}\theta $$ 已知 $\displaystyle\lim_{r\to 0^+} r^{2} \ln r = 0$，且 $|\sin^{2}\theta|\le 1$，故极限为 $$ 0 $$ 故 $$ \boxed{0} $$
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### （6） $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^{3}+y^{3})}{x^{2}+y^{2}} $$
**解**： 利用 $\sin u \sim u$ 当 $u\to 0$，则 $$ \frac{\sin(x^{3}+y^{3})}{x^{2}+y^{2}} \sim \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} $$ 取路径 $y = kx$，则 $$ \frac{x^{3}+k^{3}x^{3}}{x^{2}+k^{2}x^{2}} = x \cdot \frac{1+k^{3}}{1+k^{2}} \to 0 $$ 由于 $x\to 0$，且该表达式对任意 $k$ 趋于 0，因此极限为 0。 故 $$ \boxed{0} $$
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**难度评级**：★★☆☆☆ （主要考察多元函数极限的代入法、有理化、极坐标代换及路径判断，计算量小，但需注意不存在极限的判断方法。）