📝 题目
2．求下列函数的定义域． （1）$z=\ln (x y)$ ； （2）$z=\arcsin (x+y)$ ； （3）$z=\arcsin (1-y)+\ln (x-y)$ ； （4）$z=\frac{\sqrt{y^{2}-x}}{x}$ ； （5）$z=\frac{1}{\sqrt{x-y}}+\frac{1}{y}$ ； （6）$z=\frac{\sqrt{4 x-y^{2}}}{\ln \left(1-x^{2}-y^{2}\right)}$ ； （7）$z=\frac{\arcsin y}{\sqrt{x}}$ ； （8）$z=\ln (x+y-1)+\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**习题6-1 第2题** 求下列函数的定义域。
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### (1) $ z = \ln(xy) $
要求真数大于0： $$ xy > 0 $$ 即 $ x $ 与 $ y $ 同号且均不为0。
定义域： $$ \{(x,y) \mid x>0, y>0\} \cup \{(x,y) \mid x<0, y<0\} $$
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### (2) $ z = \arcsin(x+y) $
要求： $$ -1 \le x+y \le 1 $$ 即： $$ -1 \le x+y \le 1 $$
定义域为两条平行直线之间的带状区域（含边界）。
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### (3) $ z = \arcsin(1-y) + \ln(x-y) $
两个条件： $$ -1 \le 1-y \le 1 \quad\Rightarrow\quad 0 \le y \le 2 $$ 且 $$ x-y > 0 \quad\Rightarrow\quad x > y $$
定义域： $$ \{(x,y) \mid 0 \le y \le 2,\; x > y\} $$
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### (4) $ z = \frac{\sqrt{y^2 - x}}{x} $
两个条件： 1. 根号内非负：$ y^2 - x \ge 0 \Rightarrow x \le y^2 $ 2. 分母不为零：$ x \neq 0 $
定义域： $$ \{(x,y) \mid x \le y^2,\; x \neq 0\} $$
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### (5) $ z = \frac{1}{\sqrt{x-y}} + \frac{1}{y} $
两个条件： 1. 分母不为零且根号内正：$ x - y > 0 \Rightarrow x > y $ 2. 分母不为零：$ y \neq 0 $
定义域： $$ \{(x,y) \mid x > y,\; y \neq 0\} $$
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### (6) $ z = \frac{\sqrt{4x - y^2}}{\ln(1 - x^2 - y^2)} $
条件： 1. 根号内非负：$ 4x - y^2 \ge 0 \Rightarrow y^2 \le 4x $ 2. 分母不为零且真数正： $ 1 - x^2 - y^2 > 0 \Rightarrow x^2 + y^2 < 1 $ 且 $ \ln(1 - x^2 - y^2) \neq 0 \Rightarrow 1 - x^2 - y^2 \neq 1 \Rightarrow x^2 + y^2 \neq 0 $，即 $(x,y) \neq (0,0)$
综合： $$ \{(x,y) \mid y^2 \le 4x,\; x^2 + y^2 < 1,\; (x,y) \neq (0,0)\} $$
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### (7) $ z = \frac{\arcsin y}{\sqrt{x}} $
条件： 1. 分母根号内正：$ x > 0 $ 2. 分子：$ -1 \le y \le 1 $
定义域： $$ \{(x,y) \mid x > 0,\; -1 \le y \le 1\} $$
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### (8) $ z = \ln(x+y-1) + \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} $
条件： 1. 对数真数正：$ x + y - 1 > 0 \Rightarrow x + y > 1 $ 2. 分母根号内正：$ 1 - x^2 - y^2 > 0 \Rightarrow x^2 + y^2 < 1 $
定义域： $$ \{(x,y) \mid x + y > 1,\; x^2 + y^2 < 1\} $$
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**难度评级**：★★☆☆☆ （主要考察基本初等函数定义域的限制条件，计算不复杂，但需注意多个条件的交集。）