📝 题目
19．在 $x O y$ 面上求一点，使它到直线 $x=0$ ．直线 $y=0$ 和直线 $x+2 y-16=0$ 的距离的平方和最小。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 设所求点为 $P(x, y)$，则该点到三条直线的距离分别为：
- 到直线 $x=0$ 的距离： $|x|$ - 到直线 $y=0$ 的距离： $|y|$ - 到直线 $x+2y-16=0$ 的距离： $$ \frac{|x+2y-16|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{|x+2y-16|}{\sqrt{5}} $$
由于平方和最小，且平方运算消去绝对值符号，我们考虑函数： $$ f(x,y) = x^2 + y^2 + \frac{(x+2y-16)^2}{5} $$
这是一个无约束的多元函数极值问题。分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导：
$$ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + \frac{2(x+2y-16)}{5} = 0 $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y} = 2y + \frac{4(x+2y-16)}{5} = 0 $$
整理第一个方程： $$ 2x + \frac{2}{5}(x+2y-16)=0 $$ 两边乘以 5： $$ 10x + 2(x+2y-16)=0 \quad\Rightarrow\quad 10x + 2x + 4y - 32 = 0 $$ $$ 12x + 4y - 32 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3x + y - 8 = 0 \tag{1} $$
整理第二个方程： $$ 2y + \frac{4}{5}(x+2y-16)=0 $$ 乘以 5： $$ 10y + 4(x+2y-16)=0 \quad\Rightarrow\quad 10y + 4x + 8y - 64 = 0 $$ $$ 4x + 18y - 64 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x + 9y - 32 = 0 \tag{2} $$
解方程组： 由 (1) 得 $y = 8 - 3x$，代入 (2)： $$ 2x + 9(8 - 3x) - 32 = 0 $$ $$ 2x + 72 - 27x - 32 = 0 $$ $$ -25x + 40 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{8}{5} $$ 代入 $y = 8 - 3\cdot\frac{8}{5} = 8 - \frac{24}{5} = \frac{40-24}{5} = \frac{16}{5}$
因此所求点为： $$ \boxed{\left(\frac{8}{5},\ \frac{16}{5}\right)} $$
难度：★★☆☆☆