📝 题目
2．求下列曲线在指定点处的切线及法平面方程． （1）$x=t, y=t^{2}, z=\frac{t}{1+t}$ 在点 $\left(1,1, \frac{1}{2}\right)$ 处； （2）$x=\frac{t}{1+t}, y=\frac{1+t}{t}, z=t^{2}$ 在对应点 $t=1$ 处； （3）$x=\frac{2 t}{1+t}, y=\frac{1-t}{t}, z=\sqrt{t}$ 在点 $(1,0,1)$ 处； （4）$x=t-\sin t, y=1-\cos t, z=4 \sin \frac{t}{2}$ 在点 $\left(\frac{\pi}{2}-1,1,2 \sqrt{2}\right)$ 处； （5）$x=2 \sin ^{2} t, y=3 \sin t \cos t, z=\cos ^{2} t$ 在对应点 $t=\frac{\pi}{4}$ 处； （6）$\left\{\begin{array}{l}y=2 x^{2}, \\ z=3 x+1\end{array}\right.$ 在点 $M(0,0,1)$ 处； （7）$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=2, \\ x^{2}+z^{2}=2\end{array}\right.$ 在点 $M(1,1,1)$ 处； （8）$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}-3 x=0, \\ 2 x-3 y+5 z-4=0\end{array}\right.$ 在点 $M(1,1,1)$ 处。
💡 答案与解析
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以下为各小题的详细解答步骤。
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### （1） 曲线参数方程： $$ x=t,\quad y=t^{2},\quad z=\frac{t}{1+t} $$ 点 $(1,1,\frac12)$ 对应 $t=1$。 求导： $$ x'(t)=1,\quad y'(t)=2t,\quad z'(t)=\frac{1}{(1+t)^{2}} $$ 在 $t=1$ 处： $$ x'(1)=1,\quad y'(1)=2,\quad z'(1)=\frac{1}{4} $$ 切线方向向量 $\vec{T}=(1,2,\frac14)$。 切线方程： $$ \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-\frac12}{\frac14} $$ 法平面方程： $$ 1\cdot(x-1)+2\cdot(y-1)+\frac14\cdot\left(z-\frac12\right)=0 $$ 化简得： $$ 4x+8y+z-12=0 $$
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### （2） 参数方程： $$ x=\frac{t}{1+t},\quad y=\frac{1+t}{t},\quad z=t^{2} $$ 对应 $t=1$ 时点： $$ x=\frac12,\quad y=2,\quad z=1 $$ 求导： $$ x'(t)=\frac{1}{(1+t)^{2}},\quad y'(t)=-\frac{1}{t^{2}},\quad z'(t)=2t $$ 在 $t=1$： $$ x'(1)=\frac14,\quad y'(1)=-1,\quad z'(1)=2 $$ 切线方向 $\vec{T}=(\frac14,-1,2)$，可取 $(1,-4,8)$。 切线方程： $$ \frac{x-\frac12}{1}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z-1}{8} $$ 法平面方程： $$ 1\cdot\left(x-\frac12\right)-4(y-2)+8(z-1)=0 $$ 化简： $$ x-4y+8z-\frac12+8-8=0 \quad\Rightarrow\quad x-4y+8z-\frac12=0 $$ 或乘以2： $$ 2x-8y+16z-1=0 $$
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### （3） 参数方程： $$ x=\frac{2t}{1+t},\quad y=\frac{1-t}{t},\quad z=\sqrt{t} $$ 点 $(1,0,1)$ 对应 $t=1$。 求导： $$ x'(t)=\frac{2}{(1+t)^{2}},\quad y'(t)=-\frac{1}{t^{2}},\quad z'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}} $$ 在 $t=1$： $$ x'(1)=\frac12,\quad y'(1)=-1,\quad z'(1)=\frac12 $$ 方向向量可取 $(1,-2,1)$。 切线方程： $$ \frac{x-1}{1}=\frac{y-0}{-2}=\frac{z-1}{1} $$ 法平面方程： $$ 1\cdot(x-1)-2(y-0)+1\cdot(z-1)=0 $$ 化简： $$ x-2y+z-2=0 $$
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### （4） 参数方程： $$ x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t,\quad z=4\sin\frac{t}{2} $$ 点 $\left(\frac{\pi}{2}-1,1,2\sqrt{2}\right)$ 对应 $t=\frac{\pi}{2}$。 求导： $$ x'(t)=1-\cos t,\quad y'(t)=\sin t,\quad z'(t)=2\cos\frac{t}{2} $$ 在 $t=\frac{\pi}{2}$： $$ x'=1,\quad y'=1,\quad z'=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} $$ 切线方程： $$ \frac{x-\left(\frac{\pi}{2}-1\right)}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $$ 法平面方程： $$ 1\cdot\left(x-\frac{\pi}{2}+1\right)+1\cdot(y-1)+\sqrt{2}\cdot(z-2\sqrt{2})=0 $$ 化简： $$ x+y+\sqrt{2}z-\frac{\pi}{2}+1-1-4=0 $$ 即 $$ x+y+\sqrt{2}z-\frac{\pi}{2}-4=0 $$
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### （5） 参数方程： $$ x=2\sin^{2}t,\quad y=3\sin t\cos t,\quad z=\cos^{2}t $$ 对应 $t=\frac{\pi}{4}$ 时： $$ x=2\cdot\frac12=1,\quad y=3\cdot\frac12=\frac32,\quad z=\frac12 $$ 求导： $$ x'(t)=4\sin t\cos t=2\sin 2t,\quad y'(t)=3\cos 2t,\quad z'(t)=-2\cos t\sin t=-\sin 2t $$ 在 $t=\frac{\pi}{4}$： $$ x'=2,\quad y'=0,\quad z'=-1 $$ 切线方程： $$ \frac{x-1}{2}=\frac{y-\frac32}{0}=\frac{z-\frac12}{-1} $$ 注意 $y$方向分量为0，切线垂直于y轴。 法平面方程： $$ 2(x-1)+0\cdot\left(y-\frac32\right)-1\cdot\left(z-\frac12\right)=0 $$ 化简： $$ 2x-z-\frac32=0 $$ 或乘以2： $$ 4x-2z-3=0 $$
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### （6） 曲线由方程组给出： $$ y=2x^{2},\quad z=3x+1 $$ 点 $M(0,0,1)$。将 $x$ 视为参数，则 $$ x=x,\quad y=2x^{2},\quad z=3x+1 $$ 求导： $$ x'=1,\quad y'=4x,\quad z'=3 $$ 在 $x=0$： $$ x'=1,\quad y'=0,\quad z'=3 $$ 切线方程： $$ \frac{x-0}{1}=\frac{y-0}{0}=\frac{z-1}{3} $$ 法平面方程： $$ 1\cdot(x-0)+0\cdot(y-0)+3\cdot(z-1)=0 $$ 化简： $$ x+3z-3=0 $$
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### （7） 曲线为两柱面交线： $$ x^{2}+y^{2}=2,\quad x^{2}+z^{2}=2 $$ 点 $M(1,1,1)$。对两方程全微分： $$ 2x\,dx+2y\,dy=0,\quad 2x\,dx+2z\,dz=0 $$ 在点 $(1,1,1)$： $$ 2dx+2dy=0\Rightarrow dy=-dx,\quad 2dx+2dz=0\Rightarrow dz=-dx $$ 方向向量可取 $(1,-1,-1)$。 切线方程： $$ \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{-1} $$ 法平面方程： $$ 1\cdot(x-1)-1\cdot(y-1)-1\cdot(z-1)=0 $$ 化简： $$ x-y-z+1=0 $$
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### （8） 曲线为曲面与平面交线： $$ F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-3x=0,\quad G(x,y,z)=2x-3y+5z-4=0 $$ 点 $M(1,1,1)$。梯度： $$ \nabla F=(2x-3,2y,2z),\quad \nabla G=(2,-3,5) $$ 在点 $(1,1,1)$： $$ \nabla F=(-1,2,2),\quad \nabla G=(2,-3,5) $$ 切线方向向量为两梯度叉积： $$ \vec{T}= \nabla F\times \nabla G= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 5 \end{vmatrix} $$ 计算： $$ \vec{T}=(2\cdot5 - 2\cdot(-3),\; 2\cdot2 - (-1)\cdot5,\; (-1)\cdot(-3)-2\cdot2) $$