📝 题目
9．证明螺旋线 $x=a \cos t, y=a \sin t, z=b t$ 上任一点处的切线都与 $z$ 轴形成定角．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**题目**：证明螺旋线 $$ x = a \cos t,\quad y = a \sin t,\quad z = b t $$ 上任一点处的切线都与 $z$ 轴形成定角。
**证明**：
首先，写出曲线的参数方程： $$ \mathbf{r}(t) = (a\cos t,\; a\sin t,\; bt) $$
对参数 $t$ 求导，得到切向量： $$ \mathbf{r}'(t) = \left( -a\sin t,\; a\cos t,\; b \right) $$
$z$ 轴的方向向量可以取为： $$ \mathbf{k} = (0,0,1) $$
设切线与 $z$ 轴的夹角为 $\theta$，则两向量夹角的余弦为： $$ \cos\theta = \frac{\mathbf{r}'(t) \cdot \mathbf{k}}{|\mathbf{r}'(t)| \cdot |\mathbf{k}|} $$
计算点积： $$ \mathbf{r}'(t) \cdot \mathbf{k} = (-a\sin t)\cdot 0 + (a\cos t)\cdot 0 + b\cdot 1 = b $$
计算切向量的模： $$ |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(-a\sin t)^2 + (a\cos t)^2 + b^2} = \sqrt{a^2(\sin^2 t + \cos^2 t) + b^2} = \sqrt{a^2 + b^2} $$
而 $|\mathbf{k}| = 1$，因此： $$ \cos\theta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$
由于 $a$ 和 $b$ 是常数，$\cos\theta$ 为常数，因此夹角 $\theta$ 为定值，与参数 $t$ 无关。
**结论**：螺旋线上任意一点处的切线与 $z$ 轴的夹角恒为 $\arccos\left(\displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$，即定角。
难度：★★☆☆☆