📝 题目
4．求下列函数在指定点的偏导数． （1）$z=(2 y+1)^{x}$ ，求 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=0 \\ y=0}}$ ； （2）$f(x, y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ，求 $f_{y}(3,4)$ ； （3）$f(x, y)=x+(y-1) \arcsin \sqrt{\frac{x}{y}}$ ，求 $f_{x}(x, 1)$ ； （4）$f(x, y)=x^{2}+\ln \left(y^{2}+1\right) \arctan x^{y+1}$ ，求 $f_{x}(x, 0)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 函数为 $$ z = (2y+1)^x $$ 求偏导时，将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求导。 利用指数函数求导公式： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = (2y+1)^x \ln(2y+1) $$ 代入 $x=0, y=0$： $$ \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=0 \\ y=0}} = (2\cdot 0+1)^0 \ln(1) = 1 \cdot 0 = 0 $$ 因此 $$ \boxed{0} $$
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**（2）** 函数为 $$ f(x,y) = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} $$ 求 $f_y$，即对 $y$ 求偏导，视 $x$ 为常数。 将函数写为 $$ f(x,y) = x (x^2+y^2)^{-1/2} $$ 对 $y$ 求导： $$ f_y(x,y) = x \cdot \left(-\frac12\right)(x^2+y^2)^{-3/2} \cdot 2y = -\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}} $$ 代入 $x=3, y=4$： $$ f_y(3,4) = -\frac{3\cdot4}{(3^2+4^2)^{3/2}} = -\frac{12}{(25)^{3/2}} = -\frac{12}{125} $$ 因此 $$ \boxed{-\frac{12}{125}} $$
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**（3）** 函数为 $$ f(x,y) = x + (y-1)\arcsin\sqrt{\frac{x}{y}} $$ 求 $f_x(x,1)$，即先对 $x$ 求偏导，再代入 $y=1$。 对 $x$ 求偏导时，$y$ 视为常数： $$ f_x(x,y) = 1 + (y-1)\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{\frac{x}{y}}\right)^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(\sqrt{\frac{x}{y}}\right) $$ 其中 $$ \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}},\quad \frac{\partial}{\partial x}\left(\sqrt{\frac{x}{y}}\right) = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{xy}} $$ 且 $$ \sqrt{1-\frac{x}{y}} = \sqrt{\frac{y-x}{y}} $$ 因此 $$ f_x(x,y) = 1 + (y-1)\cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{y-x}{y}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{xy}} = 1 + (y-1)\cdot \sqrt{\frac{y}{y-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{xy}} $$ 化简： $$ f_x(x,y) = 1 + \frac{y-1}{2\sqrt{x}\,\sqrt{y-x}} $$ 代入 $y=1$： $$ f_x(x,1) = 1 + \frac{1-1}{2\sqrt{x}\,\sqrt{1-x}} = 1 $$ 因此 $$ \boxed{1} $$
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**（4）** 函数为 $$ f(x,y) = x^2 + \ln(y^2+1) \arctan\left(x^{y+1}\right) $$ 求 $f_x(x,0)$，即先对 $x$ 求偏导，再代入 $y=0$。 对 $x$ 求偏导： 第一项导数为 $2x$。 第二项是乘积 $\ln(y^2+1) \cdot \arctan(x^{y+1})$，其中 $\ln(y^2+1)$ 视为常数因子。 令 $u = x^{y+1}$，则 $$ \frac{\partial}{\partial x} \arctan(u) = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} $$ 而 $$ \frac{\partial u}{\partial x} = (y+1)x^{y} $$ 因此 $$ f_x(x,y) = 2x + \ln(y^2+1) \cdot \frac{1}{1+x^{2(y+1)}} \cdot (y+1)x^{y} $$ 代入 $y=0$： $$ f_x(x,0) = 2x + \ln(0+1) \cdot \frac{1}{1+x^{2}} \cdot (0+1)x^{0} = 2x + 0 \cdot \frac{1}{1+x^2} \cdot 1 = 2x $$ 因此 $$ \boxed{2x} $$
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难度：★★☆☆☆