📝 题目
40．设向量 $\boldsymbol{u}=3 \boldsymbol{i}-4 \boldsymbol{j}, \boldsymbol{v}=4 \boldsymbol{i}+3 \boldsymbol{j}$ ，函数 $f(x, y)$ 在点 $P$ 处可微且 $\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{P}=-6,\left.\frac{\partial f}{\partial v}\right|_{P}=17$ ，求 $\left.\mathrm{d} f\right|_{P}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知向量 $$ \boldsymbol{u}=3\boldsymbol{i}-4\boldsymbol{j},\quad \boldsymbol{v}=4\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j} $$ 它们的方向余弦为： 对于 $\boldsymbol{u}$，模长 $$ |\boldsymbol{u}| = \sqrt{3^2+(-4)^2}=5 $$ 所以单位方向向量 $$ \boldsymbol{u}^0 = \frac{3}{5}\boldsymbol{i} - \frac{4}{5}\boldsymbol{j} $$ 对于 $\boldsymbol{v}$，模长 $$ |\boldsymbol{v}| = \sqrt{4^2+3^2}=5 $$ 单位方向向量 $$ \boldsymbol{v}^0 = \frac{4}{5}\boldsymbol{i} + \frac{3}{5}\boldsymbol{j} $$
方向导数与梯度的关系为： $$ \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{u}}\bigg|_P = \nabla f(P) \cdot \boldsymbol{u}^0,\quad \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{v}}\bigg|_P = \nabla f(P) \cdot \boldsymbol{v}^0 $$ 设梯度 $\nabla f(P) = (f_x, f_y)$，则 $$ \frac{3}{5}f_x - \frac{4}{5}f_y = -6 \quad (1) $$ $$ \frac{4}{5}f_x + \frac{3}{5}f_y = 17 \quad (2) $$
将(1)、(2)两边乘以5得： $$ 3f_x - 4f_y = -30 $$ $$ 4f_x + 3f_y = 85 $$
解此方程组： 由第一式得 $3f_x = 4f_y -30$，即 $f_x = \frac{4f_y -30}{3}$，代入第二式： $$ 4\cdot\frac{4f_y -30}{3} + 3f_y = 85 $$ $$ \frac{16f_y -120}{3} + 3f_y = 85 $$ 两边乘以3： $$ 16f_y -120 + 9f_y = 255 $$ $$ 25f_y = 375 \quad\Rightarrow\quad f_y = 15 $$ 代入得 $$ f_x = \frac{4\cdot15 -30}{3} = \frac{60-30}{3}=10 $$
因此 $$ \nabla f(P) = (10, 15) $$
全微分为 $$ \left.\mathrm{d}f\right|_P = f_x\,\mathrm{d}x + f_y\,\mathrm{d}y = 10\,\mathrm{d}x + 15\,\mathrm{d}y $$
难度：★★☆☆☆