📝 题目
41．一块金属板在 $x O y$ 平面上占据的区域是 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，已知板上各点的温度是 $T=x y(1-x)(1-y)$ ，在点 $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right)$ 处有一条昆虫，为了尽可能快地逃到冷的地方，它应当按什么方向运动？
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
为了尽可能快地逃到冷的地方，昆虫应当沿着温度下降最快的方向运动，即温度函数 $T(x,y)$ 的负梯度方向。
首先，计算温度函数 $T(x,y) = x y (1-x)(1-y)$ 的梯度。
将函数展开： $$ T(x,y) = x y (1 - x - y + xy) = x y - x^2 y - x y^2 + x^2 y^2. $$
分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导：
对 $x$ 求偏导： $$ \frac{\partial T}{\partial x} = y(1-x)(1-y) - x y (1-y) = y(1-y)\big[(1-x) - x\big] = y(1-y)(1 - 2x). $$ 也可以直接由乘积求导得到相同结果。
对 $y$ 求偏导： $$ \frac{\partial T}{\partial y} = x(1-x)(1-y) - x y (1-x) = x(1-x)\big[(1-y) - y\big] = x(1-x)(1 - 2y). $$
因此梯度为： $$ \nabla T = \left( y(1-y)(1-2x),\; x(1-x)(1-2y) \right). $$
在点 $\left(\frac14, \frac13\right)$ 处计算： $$ x = \frac14,\quad y = \frac13. $$
先计算第一个分量： $$ y(1-y) = \frac13 \cdot \frac23 = \frac{2}{9}, $$ $$ 1 - 2x = 1 - \frac12 = \frac12, $$ 所以 $$ \frac{\partial T}{\partial x} = \frac{2}{9} \cdot \frac12 = \frac{1}{9}. $$
再计算第二个分量： $$ x(1-x) = \frac14 \cdot \frac34 = \frac{3}{16}, $$ $$ 1 - 2y = 1 - \frac23 = \frac13, $$ 所以 $$ \frac{\partial T}{\partial y} = \frac{3}{16} \cdot \frac13 = \frac{1}{16}. $$
因此梯度向量为： $$ \nabla T\left(\frac14,\frac13\right) = \left( \frac{1}{9},\; \frac{1}{16} \right). $$
温度下降最快的方向是负梯度方向，即： $$ -\nabla T = \left( -\frac{1}{9},\; -\frac{1}{16} \right). $$
所以昆虫应当沿着与 $x$ 轴负方向和 $y$ 轴负方向之间的某个方向运动，具体方向向量为 $\left( -\frac{1}{9}, -\frac{1}{16} \right)$，或者单位化后为： $$ \mathbf{u} = \frac{ \left( -\frac{1}{9}, -\frac{1}{16} \right) }{ \sqrt{ \left(\frac{1}{9}\right)^2 + \left(\frac{1}{16}\right)^2 } }. $$
最终答案：沿向量 $\left( -\frac{1}{9}, -\frac{1}{16} \right)$ 方向运动（即负梯度方向）。
难度：★★☆☆☆