📝 题目
42．求函数 $u=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$（其中常数 $\left.a\gt 0, b\gt 0, c\gt 0\right)$ 在已知点 $M(x, y, z)$处沿此点的向径 $\boldsymbol{r}$ 的方向导数，并问当 $a 、 b 、 c$ 为何关系时，才能使方向导数等于梯度的模。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
首先，函数为 $$ u = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} $$ 其中 $a>0, b>0, c>0$ 为常数。
点 $M(x,y,z)$ 处的向径为 $$ \boldsymbol{r} = x\,\boldsymbol{i} + y\,\boldsymbol{j} + z\,\boldsymbol{k} $$ 其方向余弦为 $$ \cos\alpha = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad \cos\beta = \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad \cos\gamma = \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}. $$
函数 $u$ 的梯度为 $$ \operatorname{grad} u = \frac{\partial u}{\partial x}\,\boldsymbol{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\boldsymbol{j} + \frac{\partial u}{\partial z}\,\boldsymbol{k} = \frac{2x}{a^{2}}\,\boldsymbol{i} + \frac{2y}{b^{2}}\,\boldsymbol{j} + \frac{2z}{c^{2}}\,\boldsymbol{k}. $$
沿向径 $\boldsymbol{r}$ 的方向导数为 $$ \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{r}} = \frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha + \frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta + \frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma = \frac{2x}{a^{2}}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} + \frac{2y}{b^{2}}\cdot\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} + \frac{2z}{c^{2}}\cdot\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}. $$
即 $$ \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{r}} = \frac{2}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \left( \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} \right). $$
另一方面，梯度的模为 $$ |\operatorname{grad} u| = \sqrt{ \left(\frac{2x}{a^{2}}\right)^{2} + \left(\frac{2y}{b^{2}}\right)^{2} + \left(\frac{2z}{c^{2}}\right)^{2} } = 2\sqrt{ \frac{x^{2}}{a^{4}} + \frac{y^{2}}{b^{4}} + \frac{z^{2}}{c^{4}} }. $$
题目要求方向导数等于梯度的模，即 $$ \frac{2}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \left( \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} \right) = 2\sqrt{ \frac{x^{2}}{a^{4}} + \frac{y^{2}}{b^{4}} + \frac{z^{2}}{c^{4}} }. $$
两边同时除以 2，并平方得 $$ \frac{ \left( \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} \right)^{2} } {x^{2}+y^{2}+z^{2}} = \frac{x^{2}}{a^{4}} + \frac{y^{2}}{b^{4}} + \frac{z^{2}}{c^{4}}. $$
此式应对任意点 $(x,y,z)$ 成立，因此考虑比较系数。将左边展开： $$ \left( \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} \right)^{2} = \frac{x^{4}}{a^{4}} + \frac{y^{4}}{b^{4}} + \frac{z^{4}}{c^{4}} + \frac{2x^{2}y^{2}}{a^{2}b^{2}} + \frac{2y^{2}z^{2}}{b^{2}c^{2}} + \frac{2z^{2}x^{2}}{c^{2}a^{2}}. $$
等式两边乘以 $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 后，若要对于所有 $x,y,z$ 恒成立，则必须使交叉项系数匹配。一种简单的充分必要条件是： $$ \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{c^{2}} $$ 即 $$ a = b = c. $$
此时，函数变为 $$ u = \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{a^{2}}, $$ 梯度方向与向径方向一致，方向导数自然等于梯度的模。
因此，当 $a = b = c$ 时，方向导数等于梯度的模。
难度：★★☆☆☆