📝 题目
5．设 $u=\sin x+F(\sin y-\sin x)$ ，其中 $F$ 是可微函数，证明：
$$ \frac{\partial u}{\partial x} \cos y+\frac{\partial u}{\partial y} \cos x=\cos x \cdot \cos y . $$
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们已知 $$ u = \sin x + F(\sin y - \sin x), $$ 其中 $F$ 是可微函数。令中间变量 $$ t = \sin y - \sin x, $$ 则 $$ u = \sin x + F(t). $$
首先计算偏导数 $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ 和 $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}$。
对 $x$ 求偏导时，将 $y$ 视为常数： $$ \frac{\partial u}{\partial x} = \cos x + F'(t) \cdot \frac{\partial t}{\partial x}, $$ 而 $$ \frac{\partial t}{\partial x} = -\cos x, $$ 所以 $$ \frac{\partial u}{\partial x} = \cos x - F'(t) \cos x = \cos x \bigl(1 - F'(t)\bigr). $$
对 $y$ 求偏导时，将 $x$ 视为常数： $$ \frac{\partial u}{\partial y} = 0 + F'(t) \cdot \frac{\partial t}{\partial y}, $$ 而 $$ \frac{\partial t}{\partial y} = \cos y, $$ 所以 $$ \frac{\partial u}{\partial y} = F'(t) \cos y. $$
现在计算表达式 $$ \frac{\partial u}{\partial x} \cos y + \frac{\partial u}{\partial y} \cos x. $$
代入上面结果： $$ \begin{aligned} &\frac{\partial u}{\partial x} \cos y + \frac{\partial u}{\partial y} \cos x \\ &= \bigl[\cos x (1 - F'(t))\bigr] \cos y + \bigl[F'(t) \cos y\bigr] \cos x \\ &= \cos x \cos y (1 - F'(t)) + \cos x \cos y \, F'(t) \\ &= \cos x \cos y \bigl(1 - F'(t) + F'(t)\bigr) \\ &= \cos x \cos y. \end{aligned} $$
因此等式成立，证毕。
难度：★★☆☆☆