📝 题目
14．下列方程确定了 $y$ 是 $x$ 的函数，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ． （1） $\sin y+\mathrm{e}^{x}-x y^{2}=0$ ； （2） $\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\arctan \frac{y}{x}$ ； （3）$y=1+x \mathrm{e}^{y}$ ； （4）$x^{y}=y^{x}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各小题的隐函数求导过程。
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### （1） 方程： $$ \sin y + e^{x} - x y^{2} = 0 $$ 两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数： $$ \cos y \cdot y' + e^{x} - \left( y^{2} + x \cdot 2y y' \right) = 0 $$ 整理： $$ \cos y \cdot y' + e^{x} - y^{2} - 2xy y' = 0 $$ 含 $y'$ 项合并： $$ y'(\cos y - 2xy) = y^{2} - e^{x} $$ 所以 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y^{2} - e^{x}}{\cos y - 2xy} $$
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### （2） 方程： $$ \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \arctan\frac{y}{x} $$ 先化简左边： $$ \frac{1}{2}\ln(x^{2}+y^{2}) = \arctan\frac{y}{x} $$ 两边对 $x$ 求导： 左边导数： $$ \frac{1}{2} \cdot \frac{2x + 2y y'}{x^{2}+y^{2}} = \frac{x + y y'}{x^{2}+y^{2}} $$ 右边导数： $$ \frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^{2}} \cdot \frac{y' x - y}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdot \frac{y' x - y}{x^{2}} = \frac{y' x - y}{x^{2}+y^{2}} $$ 令两边相等： $$ \frac{x + y y'}{x^{2}+y^{2}} = \frac{y' x - y}{x^{2}+y^{2}} $$ 分母相同，得： $$ x + y y' = y' x - y $$ 移项： $$ y y' - x y' = -y - x $$ $$ y'(y - x) = -(x + y) $$ 所以 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{x + y}{x - y} $$
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### （3） 方程： $$ y = 1 + x e^{y} $$ 两边对 $x$ 求导： $$ y' = e^{y} + x e^{y} y' $$ 移项： $$ y' - x e^{y} y' = e^{y} $$ $$ y'(1 - x e^{y}) = e^{y} $$ 所以 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{e^{y}}{1 - x e^{y}} $$ 由原方程 $x e^{y} = y - 1$，也可写作： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{e^{y}}{2 - y} $$
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### （4） 方程： $$ x^{y} = y^{x} $$ 取自然对数： $$ y \ln x = x \ln y $$ 两边对 $x$ 求导： $$ y' \ln x + \frac{y}{x} = \ln y + \frac{x}{y} y' $$ 移项： $$ y' \ln x - \frac{x}{y} y' = \ln y - \frac{y}{x} $$ $$ y'\left( \ln x - \frac{x}{y} \right) = \ln y - \frac{y}{x} $$ 所以 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\ln y - \displaystyle\frac{y}{x}}{\ln x - \displaystyle\frac{x}{y}} $$ 分子分母同乘 $xy$： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y(x \ln y - y)}{x(y \ln x - x)} $$
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难度评级：★★☆☆☆ （均为隐函数求导基础题型，计算稍繁但方法统一）