📝 题目
30．设函数 $u(x, y)$ 满足方程 $F\left(\frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial u}{\partial y}\right)=0$ ，其中 $u(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，$F$具有不同时为零的偏导数 $F_{1}^{\prime} 、 F_{2}^{\prime}$ ，求 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right)^{2}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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设函数 $u(x, y)$ 满足方程 $$ F\left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right) = 0, $$ 其中 $u$ 具有二阶连续偏导数，$F$ 具有不同时为零的偏导数 $F_1', F_2'$。
令 $$ p = \frac{\partial u}{\partial x}, \quad q = \frac{\partial u}{\partial y}, $$ 则原方程为 $$ F(p, q) = 0. $$
对 $x$ 求偏导，由链式法则得 $$ F_1' \cdot \frac{\partial p}{\partial x} + F_2' \cdot \frac{\partial q}{\partial x} = 0. $$ 注意 $\displaystyle{\frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}$，$\displaystyle{\frac{\partial q}{\partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}}$，所以 $$ F_1' \cdot u_{xx} + F_2' \cdot u_{xy} = 0. \tag{1} $$
对 $y$ 求偏导，得 $$ F_1' \cdot \frac{\partial p}{\partial y} + F_2' \cdot \frac{\partial q}{\partial y} = 0. $$ 这里 $\displaystyle{\frac{\partial p}{\partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = u_{xy}}$，$\displaystyle{\frac{\partial q}{\partial y} = u_{yy}}$，所以 $$ F_1' \cdot u_{xy} + F_2' \cdot u_{yy} = 0. \tag{2} $$
将 (1) 和 (2) 看作关于 $(F_1', F_2')$ 的齐次线性方程组： $$ \begin{cases} u_{xx} F_1' + u_{xy} F_2' = 0, \\ u_{xy} F_1' + u_{yy} F_2' = 0. \end{cases} $$ 由于 $F_1', F_2'$ 不全为零，该齐次方程组有非零解，因此系数行列式必须为零： $$ \begin{vmatrix} u_{xx} & u_{xy} \\ u_{xy} & u_{yy} \end{vmatrix} = 0. $$
即 $$ u_{xx} u_{yy} - (u_{xy})^2 = 0. $$
因此，所求表达式为 $$ \boxed{0}. $$
难度：★★☆☆☆