📝 题目
1．填空题． （1）曲线 $x=\cos t, y=\sin t, z=\sin t+\cos t$ 在对应的点 $t=0$ 处的切线与平面 $x+B y-z=0$ 平行，则 $B=$ $\_\_\_\_$ ； （2）曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 在点 $(1,1,2)$ 处的法线与平面 $A x+B y+z+1=0$ 垂直，则 $A=$ $\_\_\_\_$ ，$B=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案与解析
[AI解答]
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(1) 曲线参数方程为 $$ x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad z=\sin t+\cos t $$ 在 $t=0$ 处，对应点为 $$ (x(0),y(0),z(0))=(1,0,1) $$ 切向量为 $$ \vec{T}=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}\right)=(-\sin t,\ \cos t,\ \cos t-\sin t) $$ 代入 $t=0$ 得 $$ \vec{T}(0)=(0,1,1) $$ 平面方程为 $x+By-z=0$，其法向量为 $$ \vec{n}=(1,B,-1) $$ 切线与平面平行，即切向量与法向量垂直，故点积为零： $$ (0,1,1)\cdot(1,B,-1)=0+B-1=0 $$ 解得 $$ B=1 $$
(2) 曲面 $z=x^2+y^2$ 可写为 $$ F(x,y,z)=x^2+y^2-z=0 $$ 梯度为法向量： $$ \nabla F=(2x,2y,-1) $$ 在点 $(1,1,2)$ 处，法向量为 $$ \vec{n}_s=(2,2,-1) $$ 已知平面方程为 $Ax+By+z+1=0$，其法向量为 $$ \vec{n}_p=(A,B,1) $$ 法线与平面垂直，即曲面法向量与平面法向量平行，故存在常数 $k$ 使得 $$ (2,2,-1)=k(A,B,1) $$ 由第三分量得 $-1=k\cdot 1$，即 $k=-1$。 于是 $$ 2 = -A \quad\Rightarrow\quad A=-2 $$ $$ 2 = -B \quad\Rightarrow\quad B=-2 $$
答案： (1) $B=1$ (2) $A=-2,\ B=-2$
难度：★★☆☆☆